Esta es la entrada 60 del blog. Queda bien dedicarla a algo muy relacionado con el número 60: el reloj, con sus 60 minutos en cada hora y sus 60 segundos en cada minuto.

Revisaremos hoy algunas curiosidades matemáticas del reloj, así como los cuidados que son necesarios al enseñar a leerlo y al hacer cálculos con horas, minutos y segundos

Antes de empezar, una adivinanza:

Llega un camión lleno de turistas a un hotel en Londres, se registran todos y, cuando sólo quedan dos amigas por tener asignada su habitación, el gerente se da cuenta de que ya no queda ninguna libre. ¿Qué hora es?

Encuentren la respuesta al final de esta entrada.

¿Qué es un reloj?

Es un instrumento que sirve para medir el tiempo, principalmente en las horas y los minutos, aunque algunos miden también los segundos, fracciones de segundo, incluso los días, meses, y años. Otros incorporan cronómetro, despertador, etcétera.

¿Qué tipos de relojes hay?

En principio, podemos pensar en los relojes analógicos (indican la hora con manecillas) y digitales (indican la hora directamente con números), pero también hay relojes de sol, de arena y de agua (vaya, se leyó muy “playera” esta última parte).

Nota: existen relojes con manecillas que realmente son imágenes digitales, pero que se consideran analógicos por la forma en que se lee la hora en ellos. También existen relojes que funcionan como algunos letreros en los aeropuertos y que se leen directamente de los números, como un reloj digital, aunque pueden tener mecanismos no digitales.

Y, entre los relojes analógicos, existen subcategorías como los relojes de péndulo, los de cucú, etcétera.

¿Cómo funciona un reloj de arena?

La duración depende de la cantidad de arena y del tamaño de los granos de arena y del orificio por el que pasan. Se usan, entre otras cosas, para medir la duración máxima de una actividad, como en algunos juegos de mesa, por ejemplo. No ha de ser práctico para llevar las horas del día. Si tuviéramos un reloj que dure una hora, necesitaríamos estar cerca cada hora para voltearlo cada que cayera el último grano, y llevar la cuenta de cuántas vueltas le hemos dado para saber qué hora del día es, así como estimar qué fracción de la hora ha transcurrido.

¿Qué otros usos del reloj de arena conocen?

¿Cómo funciona el reloj de sol?

Este reloj sí sirve para estimar la hora del día, según la sombra que se proyecta en su “carátula”. Sólo sirve para el día, siempre y cuando no esté nublado y no sé qué tan sencillo sea reorientarlo para adelantarlo según el “horario de verano” de algunos países.

Por extraño que parezca sí existen relojes de sol portátiles, equipados con una brújula que permite orientarlos.

¿Cómo funciona un reloj de agua?

Básicamente igual que un reloj de arena, en cuanto a que se va midiendo el tiempo que tarda un contenedor en vaciarse, sólo que éste no se voltea, sólo se llena cada vez y tiene unas marcas que van indicando el tiempo transcurrido.

¿Cómo se lee un reloj digital?

Es necesario tener identificados que en los primeros dos dígitos va la hora, después de los dos puntos van los minutos y, si los tiene, después de otros dos puntos van los segundos. Existen versiones creativas, como la de la imagen, en el que los puntitos alrededor son los segundos transcurridos.

Es casi así de sencillo. Lo que es necesario tener en cuenta es que existen dos sistemas horarios: el de 24 horas y el de 12 horas ( am / pm ).

Ambos empiezan a la media noche, pero el de 24 horas continúa hasta la siguiente media noche y el de 12 horas se reinicia cada 12 horas, dos veces cada día. Para distinguir de qué hora se habla en este sistema horario, se dice la 1:00 AM (anterior al mediodía) y la 1:00 PM (posterior al mediodía).

Cada país, cada región, incluso cada medio de difusión tiene sus preferencias por uno u otro sistema horario. En México al hablar decimos: tomé la medicina a las 7 de la mañana, a las 3 de la tarde y las 11 de la noche, pero al escribirlo usamos am y pm en ciertos contextos y el sistema de 24 horas en otros.

¿Cómo se usa en sus lugares de origen?

Por lo tanto, volviendo a cómo se lee el reloj digital, es necesario conocer la conversión de un sistema horario a otro, para traducir entre ambos y llegar a tiempo a las citas. Si la invitación dice: 19:00 hrs, necesitamos restarle 12 horas para saber que quieren que nos presentemos a las 7 de la tarde. O, si queremos invitar a alguien a las ocho y media y lo hacemos de manera formal, le pedimos por escrito que esté a las 20:30 hrs.

Los relojes digitales, cuando usan el horario de 12 horas, tienen un indicador para am/pm. Si no lo tienen, probablemente se trate de un reloj de 24 horas, como el de la imagen.

Si al sistema de 24 horas se le quitan los dos puntos y se lee de corrido, se convierte en el horario militar. En ese horario, algo que ocurre a las 9:30 hrs se registra que sucedió a las 0930, que se lee cero novecientos treinta.

Interesante, ¿verdad?

¿Cómo se lee un reloj analógico?

Una de las razones para que existan los dos sistemas horarios arriba mencionados es que el reloj analógico sólo tiene 12 números y vuelve a empezar, dos veces al día, lo cual lo vuelve más compatible con el sistema horario de 12 horas. Como éste puede ser un poco confuso y requiere el dato extra de en qué parte del día se está, en algunos contextos es más práctico el otro sistema horario.

Los relojes más comunes tienen dos o tres manecillas o agujas. La pequeña y gruesa, que se mueve más lento (da una vuelta cada 12 horas), es la que indica las horas y, por ello, se llama “horario”. La larga y gruesa, que se mueve a velocidad intermedia (da una vuelta cada hora), indica los minutos y, por ello, se le llama “minutero”. La larga y delgada, que se mueve a mayor velocidad (da una vuelta cada minuto), indica los segundos y, por ello, se le llama “segundero”. Puede no estar presente en algunos relojes.

La carátula suele ser redonda, pero también puede ser cuadrada, rectangular o de alguna otra forma. Las posiciones que indican cada hora pueden estar ocupadas por números arábigos, por números romanos (ver más sobre números romanos aquí), por alguna imagen o símbolo, o por nada, para los más valientes que quieren inferir la posición sin una guía explícita.

Por cierto, no existe un consenso sobre por qué muchos relojes (aunque no todos), que tienen números romanos para marcar las horas, usan IIII en vez de IV. Las razones que se mencionan van desde la simetría del IIII con el VIII que está del otro lado del reloj hasta el hecho de que IV serían las iniciales del dios IVUPITER, lo cual las hacía inapropiadas para usarse como número.

Para leer la hora, se observa primero en qué posición está la manecilla de las horas para leer ese dato: si el horario está directamente apuntando a un número, ese es el valor que se lee. Si está entre un número y otro, corresponde al más pequeño de los dos.

Posteriormente se observa en qué posición está la manecilla de los minutos, para leer ese dato. Recordemos que son 60 minutos los que hay en una hora, que es el tiempo que tarda el minutero en dar toda la vuelta al reloj. Aunque algunos relojes traen las 60 marcas de los minutos, es poco práctico que tengan indicada la cantidad de minutos recorrida. Por lo tanto, conviene identificar que por cada número del reloj transcurren 5 minutos.

Por tanto, si el minutero apunta al número 1, han pasado 5 minutos. Si apunta al 4, han pasado 20, y así sucesivamente.

Los casos especiales son aquellos en los que el minutero está en el 3, 6, 9 o 12:

Si está en el 12, será la hora “en punto”. Si el horario en el 2 y minutero en el 12, son las 2 en punto.

Si está en el 3, será la hora “y cuarto”. Si el horario está un poco después del 2 y el minutero en el 3, son las 2 y cuarto.

Si está en el 6, será la hora “y media”. Si el horario está entre el 2 y el 3 y el minutero en el 6, son las 2 y media.

Si está en el 9, será la hora “y tres cuartos”, o la siguiente hora “menos cuarto”. Si el horario está un poco antes del 3 y el minutero en el 9, son las 2 y tres cuartos. También se dice que falta un cuarto para las 3.

Esto es también cultural. En algunas culturas, México incluido, al menos en parte, en cuanto el minutero está después de las 6 sentimos que ya casi llegamos a la siguiente hora y así lo leemos:

Si el minutero está en el 7 y el horario poco antes del 3, decimos que faltan 25 para las 3. También puede decirse solamente 25 para las 3, o 3 menos 25.

¿Cómo se lee el reloj en sus lugares de origen?

¿Se lee la hora con todo y segundos?

Sólo cuando se quiere decir en qué hora exacta pasó algún evento. Porque si alguien nos pregunta ¿qué hora es? y se la decimos con todo y segundos, en el momento que acabamos de decirla ya no es la hora correcta.

El segundero también sirve para cronometrar el tiempo transcurrido, cuando es una cantidad pequeña o se requiere de una cierta exactitud. Una forma de tomar el pulso, por ejemplo, es contar las pulsaciones que se sienten durante 15 segundos y multiplicarlas por 4. Para mediciones más exactas, existen los cronómetros que miden hasta fracciones de segundo.

¿Cómo se suman y restan horas?

Si se necesitan hacer cálculos con cantidades expresadas en horas minutos y segundos, el procedimiento es muy parecido al de nuestro sistema de numeración posicional, sólo que identificando que únicamente hay 3 posiciones y cada una hacia la derecha vale 60 veces la anterior:

1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Para esta suma:

1 1
3:25:36
2:42:28+
6:08:04

36 + 28 = 64 segundos. Se anotan los 4 segundos que exceden al minuto y “llevamos” 1 minuto, que se pone sobre el 5 del 25

1 + 25 + 42 = 68 minutos. Se anotan los 8 minutos que exceden a la hora y “llevamos” 1 hora, que se pone sobre el 2.

1 + 3 + 2 = 6 horas

La resta se hace de una forma similar, sólo que, si en alguna posición el minuendo es menor al sustraendo, es necesario transformar una unidad de la posición más a la izquierda en 60 unidades de esa posición. Puede ser necesario hacerlo dos veces.

3:25:36
2:42:28-

Uno de los minutos se transforma en 60 segundos que se suman a los 36 que ya había:

3:24:96
2:42:28-

Una de las horas se transforma en 60 minutos, que se suman a los 24 que ya había. Listo, ya puede hacerse la resta:

2:84:96
2:42:28-
0:42:68

Pueden ver más sobre sumas y restas con transformación, en el sistema numérico decimal, aquí.

Para complementar esta entrada, veremos a continuación algunos datos más relacionados de alguna forma con el reloj.

¿Por qué se divide de esa forma el día?

Todo parece indicar que los egipcios dividían el día en dos partes de 12 horas cada una, día y noche, aunque las horas no necesariamente duraban lo mismo en las diferentes estaciones del año. El número 12 tiene la ventaja de poderse dividir entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12, lo cual facilitaba los cálculos con fracciones de día. Una razón similar parece tener el que las horas se dividan en 60 minutos y los minutos en 60 segundos: 60 es el número más pequeño que se puede dividir entre 1, 2, 3, 4, 5 y 6. También se puede dividir entre 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita mucho los cálculos con fracciones de hora.

A propósito de dividir, ¿cómo dividirían la carátula de un reloj, mediante dos líneas rectas, de forma tal que la suma de los números que queden en cada una de las secciones así formadas sea igual?

Lean la respuesta al final de esta entrada.

Zonas horarias

Conforme el mundo se fue comunicando mejor, fue necesario establecer ciertos estándares para medir el tiempo y saber qué hora es en qué lugar. Para los trenes, por ejemplo, necesitaba haber consenso sobre los horarios de llegada, salida y la duración del trayecto.

Uno de los estándares que fue necesario establecer fue, justamente, la hora que es en cada lugar en cada momento, tratando de que el mediodía (12:00 hrs) de cada lugar corresponda razonablemente con el momento en el que el sol cae “a plomo”, es decir, cuando una vara colocada verticalmente no da sombra.

Para ello se crearon los husos horarios, que deberían ser líneas rectas que dividen al planeta en gajos, según los meridianos, siendo el de Greenwich el meridiano cero. Sin embargo para facilitar la vida de los ciudadanos, los husos horarios más bien siguen ciertas fronteras. Pueden ver las divisiones en el mapa y calcular las diferencias de horario en la página cuyo nombre se traduce, literalmente, “hora correcta”. La liga lleva a la versión en español de la página.

¿Cómo se indica hacia dónde gira algo?

Es común que se diga: “gíralo en el sentido de las manecillas del reloj” o “gíralo en el sentido contrario a las manecillas del reloj” para indicar el sentido del giro. Es práctico porque es tanto sencillo de recordar como suficientemente universal y nos permite comunicarnos con cierta exactitud.

Conviene aclarar que en matemáticas, cuando no se indica otra cosa para señalar cómo se gira o se lee algo, se sigue el “sentido matemático”, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj. Por eso los cuadrantes en el plano cartesiano empiezan en el I del lado en el que ambos ejes son positivos y se numeran II, III y IV justamente en el sentido contrario a las manecillas del reloj, que es el sentido propio de las matemáticas (ver más sobre el plano cartesiano aquí)

¿Por qué era tradición tomar las fotos a los relojes a las 10:10?

Porque con las manecillas colocadas en esa posición, un poco después del 10 y en el 2, la marca del reloj quedaba enmarcada de forma simétrica y agradable entre esas manecillas. Creo que ya es menos común.

¿Se puede medir el ángulo que forman las manecillas del reloj en una hora dada?

Sí, porque al dar una vuelta entera al círculo se recorren 360°.

Se puede calcular la posición del minutero con respecto a la vertical sabiendo en qué minuto está: cada minuto son 360/60 = 6 grados recorridos. Si está en el 6, ha recorrido 30 minutos, o 180°.

Y se puede calcular la posición del horario con respecto a la vertical sumando los grados recorridos según la hora: cada hora son 360/12 = 30 grados recorridos más la proporción de lo recorrido por el minutero, que sería 1/12 de lo señalado en el párrafo anterior.

Veamos un ejemplo:

A las 10:10 que mencionamos antes:

El minutero ha recorrido 10 minutos y, por tanto, está a 6° x 10 = 60° de la vertical.
El horario ha recorrido 10 horas más la parte correspondiente a los 10 minutos. Por tanto, está a 30° x 10 + 60°/12 = 305°. Le faltan 55° para llegar a la vertical.

El ángulo más pequeño entre ambas agujas se obtiene sumando en ángulo de cada una con la vertical: 60° + 55° = 115°. Casi una tercera parte de la circunferencia. También por eso es tan estético ese acomodo de manecillas.

Para cerrar:

Antes de irnos, vamos a dar la respuesta a la adivinanza.

Es la 1:45 PM

¿Por qué? Porque falta un cuarto para las dos.

Claro que quizá sólo se entienda en países donde “cuarto” de hotel sea sinónimo de “habitación”, como en México.

También vamos a dar respuesta al acertijo de la división del reloj:

La forma de dividirlo es con dos rayas diagonales paralelas. hasta arriba quedan los números 11, 12, 1 y 2. En medio quedan 9, 10, 3 y 4, abajo quedan 5, 6, 7 y 8

Y una forma de pensar en esta respuesta es: si requiero que en las tres secciones las cantidades sean iguales, la cantidad en cada sección debe ser la tercera parte de la cantidad total.

Si se suma del 1 al 12 se obtiene: 78 (ver cómo calcularlo como una serie aquí). Al dividirlo entre 3 se obtiene 26. Sólo resta buscar cómo acomodar las líneas para que queden 3 regiones en las que los números de cada una sumen 26.

Bueno, es tiempo de terminar esta entrada, siempre agradeciendo que lean lo que escribo y que lo compartan con aquellos a quienes consideran que les puede ser agradar o ser útil la información.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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