Números negativos y positivos, ¿cómo entenderlos y cómo hacer las operaciones básicas con ellos?

Ésta es la entrada 61 del blog. La dedicaremos a las operaciones básicas con números negativos y positivos: suma, resta, multiplicación y división. Es un tema que, como todos, será más sencillo de trabajar si entendemos las razones de lo que hacemos.filmstrip-3469991_1280_opt 1.jpg

batteries-28023_1280_opt.pngAl usar las palabras “negativo/positivo” para buscar imágenes, aparecían personas negativas y positivas, pilas con sus polos negativos y positivos y… sentí mucha nostalgia con las imágenes de los negativos de las fotografías que se usaban cuando yo era niña, así que decidí usar una para ilustrar esta entrada. Una pequeña libertad “poética” que me dí, porque realmente será una entrada dedicada a números y nada más.

¿Qué es un número negativo?

Al principio en matemáticas sólo se habían definido los números naturales, que son los que sirven para contar. Algunos consideran al 0 como natural y otros no. Dado que al contar puedes descubrir que tienes 0 cosas, vamos a considerar al 0 dentro de ese conjunto de números.

Al sumar dos números naturales se obtiene otro natural: 3 + 5 = 8. Sin embargo, al restar dos números naturales, no siempre se obtiene otro natural: 3 – 5 = ¿?

De ahí surgió la necesidad de tener un nuevo conjunto de números, que pudieran contemplar todos los resultados de la resta de dos naturales: los números enteros, que incluyen a los enteros positivos, al cero (es decir, a los naturales) y también a los enteros negativos.

En la recta numérica (ver más aquí) podemos notar como, a partir del cero, los números “crecen” de forma “simétrica” hacia izquierda y derecha, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos.

Recta numérica.JPG
Nota: los números racionales también surgieron por una necesidad: contemplar las respuestas de las divisiones entre enteros que no daban resultados enteros (ves más aquí).

Comparando números

Con base en la recta numérica resulta muy sencillo entender, al comparar dos o más números, cuál es más pequeño. Se identifican esos números sobre la recta numérica y con ello se concluye: cualquier número a la izquierda de otro es más pequeño que él.

Con números enteros positivos es sencillo hacerlo:
2 < 3

Un positivo siempre será mayor que un negativo:
-2 < 3

Con números enteros negativos debemos ser más conscientes de lo que estamos haciendo al identificar al mayor:
2 > -3

Con números reales positivos también es sencillo hacerlo:
2.9 < 3.1

Con números reales negativos también necesitamos detenernos un poco a pensar:
-2.9 > -3.1

Ver más sobre desigualdades aquí.

¿El cero tiene signo?

No, el cero no es ni positivo ni negativo. Me gusta decir que es el “parteaguas”, o el valor en el que se separan los números en positivos y negativos.

Por lo mismo, cuando se quiere indicar que un valor x es positivo, se puede escribir así:
x>0

De la misma forma, para indicar que un valor de x es negativo, se puede escribir así:
x<0

Signos explícitos e implícitos

Los números que no tienen un signo explícito (escrito) se consideran positivos. Esto es, su signo positivo (+) está implícito (no escrito):

3 = +3

Los números que son negativos siempre deben llevar el signo explícito (escrito).

-5 = -5

Diferencia entre signo y operador

Cuando hay un + o un en medio de dos números, se trata de un operador suma o resta:

3 + 5 significa tres más cinco
3 – 5 significa tres menos cinco.

Cuando el + o – es lo primero que está escrito en la expresión, o al principio de un paréntesis, se trata del signo del número:

+5 significa que es un 5 positivo. También (+5)
-5 significa que es un 5 negativo. También (-5)

Nota: no deben escribirse dos signos seguidos. Es necesario que haya un paréntesis en medio de ellos:

3 + (-5) significa tres más un 5 negativo

3 – (-5) significa tres menos un 5 negativo

3 – (+5) significa tres menos un 5 positivo. No es común escribirlo así, pero podemos llegar a encontrarlo en ejercicios específicos de sumas de números positivos y negativos.

3 + (+5) significa tres más un 5 positivo. No es común escribirlo así, pero podemos llegar a encontrarlo en ejercicios específicos de sumas de números positivos y negativos.

Para hacer los cálculos anteriores hay diferentes procedimientos. Conviene entenderlos todos y usar ya sea el que mejor entendamos o el que nos pida el profesor, si está evaluando algún proceso específico.

Sumar usando la recta numérica:

Como sumar y restar son operaciones contrarias, y los números positivos y negativos se localizan al lado contrario del cero, entonces:

Al sumar un número positivo, avanzamos hacia la derecha
Al sumar un número negativo, avanzamos hacia la izquierda
Al restar un número positivo, avanzamos hacia la izquierda
Al restar un número negativo, avanzamos hacia la derecha.

Veamos los casos anteriores:

3 + (-5) = -2

3 – (-5) = 8

3 – (+5) = -2

3 + (+5) = 8

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Como partimos del mismo número y sólo hay dos sentidos en los cuales avanzar, sólo hay dos posibles resultados.

Antes de seguir: Las leyes de los signos al multiplicar/dividir/suprimir paréntesis

hammer-802298_1280_opt.jpgEstas leyes sirven tanto para multiplicar/dividir números con diferentes signos como para multiplicar un operador fuera de un paréntesis por un signo dentro del paréntesis, para simplificar una expresión.

Creo que es de las leyes matemáticas que más fácilmente nos aprendemos en su momento:

Al multiplicar signos iguales, el resultado es positivo (o queda el operador suma, en su caso):
(+) (+) = (+)
(-) (-) = (+)

Al multiplicar signos distintos, el resultado es negativo (o queda el operador resta, en su caso):
(+) (-) = (-)
(-) (+) = (-)

Para entenderlo mejor y evitar memorizarlo sin justificación, revisemos el ejemplo anterior:

3 + (+5) = 3 – (-5) = 3 + 5 = 8
3 + (-5) = 3 – (+5) = 3 – 5 = -2

Ahora veámoslo en funcionamiento en una multiplicación (recuerden que dos paréntesis juntos expresan que lo que está dentro del primero multiplica a lo que está dentro del segundo):

(+3)(+5) = (-3) (-5) = 15
(+3)(-5) = (-3) (+5) = -15

Y, por último, en la división:

(+15) / (+5) = (-15) / (-5) = 3
(+15) / (-5) = (-15) / (+5) = -3

Para tomar en cuenta

Un atajo que se usa para enseñar este tema es indicar que hay dos reglas para sumar dos números con signo:

Si los signos son iguales, los números se suman y se pone el signo de ambos

Si los signos son distintos, los números se restan (mayor menos menor, sin tomar en cuenta el signo) y se pone el signo del mayor.

Si se llega a estas reglas después de observar el procedimiento de este tipo de restas en la recta numérica, me parece una mecanización adecuada. Sin embargo, si se empieza este tema por dar estas reglas, sin fundamentarlas, el conocimiento de nuestros hijos y alumnos será incompleto y superficial podrá fallar más adelante. Sobre todo si confunden las reglas para sumar con signo con las reglas para multiplicar con signo, que son de uso más común.

Sumas de varios sumandos, de izquierda a derecha

Cuando tenemos una suma larga de números positivos y negativos, el primer paso que conviene hacer es suprimir paréntesis, para tener claro qué números se sumarán y qué números se restarán. Nota: vean más adelante una forma de proceder observando primero los paréntesis, para reducirlos entre ellos y después suprimir sólo los paréntesis restantes, que es una forma de desarrollar el pensamiento lógico-matemático (ver más aquí y aquí).

Usamos las leyes de los signos para suprimir los paréntesis:

3 + ( -5 ) + 9 – ( – 5) + ( -3 ) =
3 – 5 + 9 + 5 – 3 =

Una vez suprimidos los paréntesis se va realizando la operación de izquierda a derecha:

-2 + 9 + 5 – 3 =
7 + 5 – 3 =
12 – 3 = 9

Sumas de varios sumandos, reorganizando los sumandos primero:

Cuando son varios sumandos, se puede abreviar la operación sumando todos los términos que tienen un signo + antes y, por separado, todos los términos que tienen un signo – antes (conviene marcarlos de alguna forma para identificar cuáles ya tomamos en cuenta).

3 + ( -5 ) + 9 – ( – 5) + ( -3 ) =
3 – 5 + 9 + 5 – 3 =
3 + 9 + 5 – 5 – 3 =

Al final, se hace una sola resta:
17 – 8 = 9

Sumas de varios sumandos usando el neutro aditivo:

El cero es el elemento neutro de la adición. Si sumamos o restamos un cero a una cantidad, su valor no cambia. Podemos aprovechar y buscar “ceros” dentro de la operación de esta forma:

3 + ( -5 ) + 9 – ( – 5) + ( -3 ) =
3 – 5 + 9 + 5 – 3 =

Si tengo un +3 y un -3, juntos suman 0, por lo que no es necesario tomarlos en cuenta en la operación final. Lo mismo con el +5 y -5. Al final, sólo queda el 9 por sumar:

3 – 5 + 9 + 5 – 3 = 9

También podemos hacerlo si identificamos pares de números que sumen lo mismo entre sí y tengan el signo contrario:

-3 + ( -5 ) + 8 – ( – 6) + ( -4 ) =
– 3 – 5 + 8 + 6 – 4 =
6 – 4 = 2

Fomentar esta forma de hacer las sumas ayuda a desarrollar el sentido numérico (ver más aquí y aquí)

Sumas de varios sumandos, buscando ceros antes de suprimir paréntesis:

3 + ( -5 ) + 9 – ( – 5) + ( -3 ) =

Podemos observar que hay un 3 positivo y luego se suma un -3. Ambos números suman cero, por lo que se pueden reducir a cero.

Y también podemos observar que hay un -5 sumando y un -5 restando. También se pueden reducir a cero.

3 + ( -5 ) + 9 – ( – 5) + ( -3 ) = 9

Una vez reducidos todos los números que suman cero, queda sólo el 9 por sumar. Es el procedimiento más eficiente para hacer esta operación.

Multiplicaciones de varios números con signo

Primero se multiplican todos los signos: los dos primeros, el resultado por el que sigue y así sucesivamente y después se multiplican todos los números:

(- 3 ) ( -5 ) ( 9) (-2 ) = -270

Menos por menos es más, más por más es más, más por menos es menos.

3 x 5 = 15, 15 x 9 = 135, 135 x 2 =270

La forma más breve de multiplicar los signos es contar cuántos signos negativos hay. Si es un número par de signos negativos, la respuesta será positiva. Si es un número non de signos negativos, la respuesta será negativa. En este caso hay 3 signos negativos, por eso la respuesta es negativa.

Es posible contar sólo los negativos porque, según pueden observar en las reglas de los signos al multiplicar, cuando se multiplica un signo positivo por otro cualquiera, permanece el otro.

También la multiplicación de los valores se puede reordenar y asociar para hacerla más sencilla:

5 x 2 = 10, 3 x 9 = 27, 10 x 27 = 270

Nuevamente, este manejo es útil para desarrollar el sentido numérico de los alumnos.

Multiplicaciones y divisiones de números con signo

Primero se determina el signo del resultado, contando la cantidad de signos negativos, como se mencionó antes, y después se pueden seguir dos procesos:

Multiplicar todos los factores del numerador y todos los del denominador, para después simplificar.

WhatsApp Image 2019-03-19 at 11_opt

Simplificar factores comunes en numerador y denominador. Después multiplicar los factores que queden:

WhatsApp Image 2019-03-19 at 11_opt (1)

También relacionado con los signos: el valor absoluto

El valor absoluto de un número es el valor sin su signo. Puede entenderse como la distancia en la recta numérica del número al cero, sin importar si está a la derecha o a la izquierda.

|-3| = |3| = 3

En algunas de las operaciones realizadas en esta entrada, cuando nos referimos a tomar en cuenta primero el signo y después el valor, estamos hablando del valor absoluto del número.

Dato extra: las raíces y los logaritmos de los números negativos

He escuchado más de una vez que “no existen raíces negativas”, cuando un alumno se topa, por ejemplo, con la raíz cuadrada de menos cuatro. Sin embargo, no es esa la forma correcta de expresarlo. Debe ser:

No existen, en los números reales, las raíces pares de números negativos.

Porque el número 4, por ejemplo, tiene dos raíces, una positiva y una negativa: +2 y -2

Y el número -8 sí tiene raíz cúbica (raíz non): -2

Incluso a -1 se le puede sacar raíz cuadrada, sólo que es 1i, es decir, es imaginaria y no está en los números reales.

Cuando hablamos matemáticas con más propiedad, nuestros alumnos pueden comprender de forma más completa y correcta los conceptos.

Por otro lado, la calculadora también arroja error al obtener, por ejemplo, el logaritmo natural de -1. Sin embargo, ese logaritmo sí existe, sólo que también es un valor imaginario. Se puede saber su valor despejando la identidad de Euler:

Identidad en verde

ln (-1) = Π i

Pueden ver más sobre la identidad de Euler aquí

Para cerrar

En la entrada sobre sumas y restas con trasformación (ver aquí) mencioné que era muy importante que las restas siempre se hicieran de izquierda a derecha, dado que he visto que se menciona que debe hacerse “el mayor menos el menor”, lo cual genera interpretaciones incorrectas cuando se trabaja con números negativos, ya sea dentro de las operaciones o en el resultado. Tengamos mucho cuidado con lo que decimos al acompañar a aprender a nuestros hijos y alumnos.

business-men-2915528_1280_opt.jpgCierro esta entrada agradeciendo, como siempre, que lean lo que escribo y que lo compartan con aquellos a quienes consideran que les puede ser agradar o ser útil la información.

Recuerden que en la vida podemos buscar lo positivo y evitar lo negativo, pero siempre será conveniente que sepamos manejar ambas situaciones, así como hacer operaciones con los números con ambos signos.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

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