Esta es la entrada 59 del blog. Tratará sobre las divisiones: su algoritmo general y algunas características que necesitamos tomar en cuenta para poderlas calcular de la mejor manera. Escribí sobre la suma y la resta hace dos semanas (ver aquí) y sobre la multiplicación la semana pasada (ver aquí), así que hoy corresponde escribir sobre la división aunque, curiosamente, 59 no tiene divisores más allá de sí mismo y la unidad y, por lo tanto, es un número primo (ver más sobre números primos aquí).

Como hace mucho que no ilustro una entrada con alguna imagen de un brownie o un pastel de chocolate, que tanto me gustan, hoy la encabeza una imagen que sugiere 12 muffins de chocolate (de algunos sólo se ve un pedacito del capacete). 12 es el primer número que tiene 3 divisores, siendo uno diferente a los demás.

Ampliando el vocabulario

Tanto en la entrada de la suma y la resta como en la de la multiplicación, comenzamos por identificar palabras que significan lo mismo que esas operaciones, con el objetivo de usarlas frecuentemente, para que a nuestros hijos y alumnos les resulten familiares cuando las escuchen dentro de problemas redactados en palabras. Haremos lo mismo con la división. Pueden ser más bien frases las que se interpretan matemáticamente como dividir y éstas suelen incluir en cuántas partes se divide.

Obtener la mitad, repartir entre tres, separar en cuatro, partir en cinco, cortar en seis, distribuir entre siete, fraccionar en ocho, romper en nueve, compartir entre diez… en todos los casos debe indicarse que son tantas partes iguales, para que la operación de división tenga sentido.

¿Se les ocurren otras palabras o frases que sean usadas en los problemas escritos que impliquen división ?

Veremos primero algunos conceptos previos que permitirán entender mejor lo que vamos a hacer. En ellos no explicaré paso a paso el algoritmo de la división, sólo mostraré aquello que debemos cuidar. Después veremos algunos ejemplos del proceso a seguir, revisando los casos más relevantes y cómo actuar en cada uno.

Sistema numérico decimal

Al igual que para las sumas, restas y multiplicaciones, para realizar correctamente las  divisiones es indispensable tener presentes las características del sistema numérico decimal (ver más aquí)

Cada dígito tiene un valor absoluto y un valor relativo, según su posición. El valor de cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha.

Por ejemplo: en 59, la posición del 9 es la de las unidades, vale 1 y, por tanto, el 9 colocado ahí vale 9 unidades. En cambio, la posición del 5 es la de las decenas, vale 10 veces la de las unidades. O sea que el 5 colocado ahí vale 50 unidades. Su valor absoluto es 5 y su valor relativo es 50.

La división es una resta reiterada

Aunque es muy común reconocer a la multiplicación como una suma reiterada, es menos común reconocer a la división como una resta reiterada. Es mucho más común verla como un reparto. Sin embargo, resta reiterada y reparto son dos formas de ver el mismo proceso, aunque suene difícil de creer. Veamos la explicación:

Si vamos a repartir (dividir) 6 huevitos dulces entre dos niños, le damos primero uno a cada uno y nos quedan 4 (6 – 2=4). Otra vez le damos uno a cada uno y nos quedan 2 (4 – 2=2). Finalmente le damos uno a cada uno y nos quedan cero (2 – 2=0).

Lo que hicimos fue ir restando a la cantidad inicial 2 huevitos dulces cada vez. ¿Cuántas veces lo hicimos? 3 ¿Cuántos le quedaron a cada niño? 3. Por eso es lo mismo una división (reparto) que una resta reiterada, en la que el cociente es el número de veces que se restó.

Al entender la división como una resta reiterada, también podemos entender por qué está indefinida la división de un número diferente de cero entre cero: dividir 6 entre 0 implicaría definir cuántas veces debo restarle 0 a 6 hasta llegar a 0. No hay forma de definirlo, por más ceros que le reste, voy a seguir teniendo 6. Esta forma de ver la división también nos permite entender por qué la división de cero entre cero está indeterminada (es un valor que requiere más información para poderlo determinar): a 0 le puedo restar cualquier cantidad de veces 0 y siempre obtendré 0. Pueden ver más sobre el cero y sus propiedades aquí.

Revisaremos aquí el proceso de la división entendido como reparto o como proceso inverso de la multiplicación, para lo que será indispensable conocer las tablas de multiplicar y saber restar.

Elementos de la división:

La división consta de cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo.

Esta operación básica tiene al menos dos formas distintas de representarse para realizarla, según el país. En las tres operaciones anteriores (suma, resta, multiplicación) siempre se tenía un número arriba del otro y el operador en alguna parte junto a ellos.
La división, en cambio, se puede representar usando una galera (también conocida como “casita”), de la siguiente forma:

Así se hace en México y, me parece, en los países anglosajones. No sé si en más países de América Latina se haga así.

También se puede usar la galera de forma invertida (no estoy segura de que también se llame galera en este caso). Los elementos cambian de posición:

La ventaja de este segundo acomodo es que se escribe en el orden en el que se plantea: 18 entre 3 se escribe:   18 |_3__

Mientras que en el otro debe invertirse el orden y eso puede provocar errores.

Considero que debe seguirse el acomodo que prevalezca en la cultura de cada quién, para evitar conflictos innecesarios.

¿Cómo se acomodan los datos para dividir en el país donde ustedes viven?

Tipos de divisiones y formas de expresar el resultado

En la multiplicación, el proceso tiene un principio y un fin conocidos. En la división, en cambio, se sabe cómo se comienza pero no siempre se sabe cómo o en qué paso va a terminar el proceso. En ese sentido, tenemos dos tipos de divisiones:

Exactas: se terminan cuando se llega a un residuo cero.

Inexactas: se pueden terminar indicando el residuo, diferente de cero, o hasta una cantidad determinada de cifras decimales (regularmente entre 2 y 4). Si éstas se repiten periódicamente, se tratará de un resultado con decimal periódico. Por ejemplo, cuando el divisor tiene un factor 3 o 7 y el resultado no es exacto, será periódico, aunque no son los únicos casos.

La forma en que se expresa el resultado es importante. Una rayita sobre uno o más dígitos indica que es un resultado con decimales periódicos y, por tanto, se puede usar un igual para expresar el resultado, así:

Cuando el resultado tiene algunas cifras decimales y se llegó a un residuo cero, también se puede usar el signo igual al expresar el resultado, así:

Cuando no se ve claro un patrón en las cifras decimales del cociente (si se divide entre un número primo muy grande, por ejemplo, tomará varias cifras decimales para que sea evidente), entonces se puede dejar un resultado truncado a un cierto número de cifras decimales, que es como regularmente se piden los resultados en los libros en primaria. Si  la instrucción fuera «realiza la división dando el resultado con cuatro cifras decimales» la respuesta se vería así y será correcta dada la instrucción de truncar el proceso:

Una manera más adecuada de entenderlo es que se trata de una aproximación, por lo que debería usarse el símbolo de aproximadamente igual ( ≈ ) en vez de el signo igual.

Para los profesores de primaria, al indicar la cantidad de cifras decimales que solicitan pueden justificar el que la respuesta tenga un igual. En grados superiores, es mejor que los alumnos comprendan la diferencia entre igual y aproximado (ver más sobre las características del signo igual aquí). ¿Por qué es importante? Porque si dentro de un proceso con varios pasos van haciendo divisiones y van truncando los resultados, su resultado final puede llegar a ser muy diferente del correcto.

Si el resultado de una división lo van a multiplicar por un número muy grande, también puede haber una gran diferencia entre su resultado y el correcto. Esto ocurre principalmente cuando hay operaciones que involucran fracciones y los alumnos prefieren convertirlas a decimales antes de tiempo.

Si el resultado anterior se multiplica por mil, cuando se calculó con pocos decimales da:

1000 x 0.4 = 400

Y exacto sería:

1000 x 0.5 = 500

Que es una diferencia importante. Ver más sobre operaciones con fracciones aquí.

¿Cómo expresar el residuo?

Debemos tener cuidado al interpretar el significado del residuo. Si el cociente está escrito en enteros, el residuo también está en enteros. Si el cociente incluye décimos, el residuo también está en décimos, y así sucesivamente. Es importante para expresar la respuesta y para comprobarla.

Otro cuidado al dividir es que, en cada paso, el residuo debe ser menor al divisor. Si no lo es, debemos aumentar uno o más al número del cociente que acabamos de usar y rehacer el proceso.

¿Por qué se mueve el punto decimal antes de empezar a dividir?

Comparemos estas situaciones:

Cuando multiplicamos por 10 ambos factores de un producto, dicho producto se multiplica por 100 (como lo vimos en la entrada sobre la multiplicación):

6 x 3 = 18   ->   60 x 30 = 1800

Cuando multiplicamos por 10 el dividendo y el divisor en una división, el resultado permanece. Ver más sobre simplificación y amplificación de fracciones aquí.

6 / 3 = 2   ->   60 / 30 = 2

Esta propiedad de la división permite entender por qué es válido mover el punto decimal antes de empezar a dividir, sin que el cociente se altere:

16.82 / 5.8 = 2.9   ->   168.2 / 58 = 2.9

Ojo: sólo es necesario que el divisor no tenga cifras decimales. El dividendo puede tenerlas, sin que el proceso de la división se complique. De hecho, quitarle innecesariamente cifras decimales al dividendo implicaría agregarle ceros al divisor, lo cual haría menos sencilla la división.

Casos:

Se multiplican ambos números por 100 para dejar el divisor sin cifras decimales, lo que implica que el punto decimal se mueve dos posiciones hacia la derecha. Se completa con ceros en el dividendo.

Se multiplican ambos números por 10, para dejar el divisor sin cifras decimales, lo que implica que el punto decimal se mueve una posición hacia la derecha. Ambos números quedan sin cifras decimales.

Se multiplican ambos números por 100 para dejar el dividendo sin cifras decimales, lo que implica que se le agregue un cero al divisor y la operación se convierta en una división entre un número de 3 cifras. Considero que no es una transformación conveniente. Es suficiente con recorrer una posición el punto, aunque el dividendo quede con una cifra decimal:

Algoritmo de la división

Por cuestiones de espacio, sólo lo veremos con la galera como se usa en México, aunque el algoritmo funciona exactamente igual con el otro acomodo de las partes de la división.

Como ya revisamos qué se necesita hacer cuando hay números con cifras decimales en el divisor, nos concentraremos en esta sección en distintos casos del algoritmo general, partiendo, en la mayoría de los casos, de divisiones con dividendo y divisor enteros.

Dividiendo entre un divisor con una sola cifra decimal:

Se calcula cuantas veces cabe el divisor en el primer dígito del dividendo, sin pasarse, y se escribe el resultado arriba del primer dígito del dividendo. Es el primer dígito del cociente. 3 cabe 1 vez en 5:

Se multiplica el dígito del cociente que acabamos de escribir por el divisor y se escribe bajo el primer dígito del dividendo. Se realiza la resta:

Se baja el siguiente dígito del dividendo y se repite el proceso hasta que el residuo sea cero o se llegue al número de cifras decimales que se deseen.

Caso particular, cuando no cabe ni una vez el divisor, se pone un cero en la posición y se baja el siguiente dígito. Siempre que se baja un dígito, se debe escribir algo en el cociente. Ese «algo» es el número de veces que cabe el divisor en el número que acabamos de formar, así sea cero. Cuando el dígito en el cociente es cero, no es necesario realizar la multiplicación. Se puede hacer así desde el primer paso, de esta forma:

Esto es importante porque, cuando el dividendo tiene cifras decimales, la correcta colocación del punto decimal depende de que pongamos cada cifra del cociente donde debe ir, si seguimos el proceso de «subir el punto» del dividendo al cociente.

Una mejor forma entender dónde va el punto decimal cuando se divide es: en el momento en que bajamos la primera cifra decimal, ponemos el punto decimal, antes de escribir la siguiente cifra del cociente. Ésta es la forma en la que se entiende cuando se hace la división con la galera invertida:

Nota: he visto hacer la división con y sin resta explícita. Yo la aprendí sin la resta explícita, pero considero que conviene enseñarla con la resta explícita y que el alumno, cuando llegue a adquirir suficiente pericia en el proceso, decida si la quiere dejar explícita o no. Así se vería una división con y sin la resta explícita:

Dividiendo entre un divisor con dos o más cifras decimales:

Ahora viene lo interesante. Dado que todos nos sabemos o podemos calcular fácilmente las tablas del 1 al 10 (ver estrategias para aprenderlas aquí y aquí), la división entre un número del 1 al 10 es razonablemente sencilla.

La realidad es que el proceso de dividir entre un número de dos o más cifras es casi igual de sencillo, si encontramos maneras eficientes de determinar la cifra que va en el cociente en cada paso.

A este respecto, he visto en los alumnos que he regularizado distintas estrategias. Veamos cada una, sus ventajas y sus desventajas.

Poner al lado toda la «tabla» del divisor

Primero la más «mecánica». Funciona, pero puede llegar a ser muy tardada y, aunque provee de práctica para las multiplicaciones y restas, realmente ayuda muy poco a la habilidad de dividir en sí y al sentido numérico (ver más sobre sentido numérico aquí y aquí). Se empieza por acomodar el dividendo y el divisor. Al lado se escriben todas las multiplicaciones del divisor por los dígitos del 2 al 9. He visto quien lo hace del 0 al 10, pero eso muestra aún menos sentido numérico, ya que en el cociente regularmente no puede agregarse un 10 en un solo paso y las multiplicaciones por 0 y 1 no deberíamos necesitar escribirlas.

Posteriormente se usa esa información para elegir los números del cociente, viendo cuántas veces cabe el divisor en el dividendo apoyados en la tabla auxiliar.

Si hay 2 dígitos en el divisor, se toman 2 del dividendo como primer paso, o 3 si en 2 no cabe ni una vez el divisor. Se pueden poner ceros a la izquierda si esto da más seguridad. El dígito del cociente se coloca en la posición del último dígito del dividendo considerado en ese paso.

Sumar el divisor a sí mismo hasta encontrar cuántas veces cabe en el dividendo.

Es una versión un poco diferente de la anterior, pues no se pone toda la tabla desde un principio, sino que se va calculando la suma del divisor más él mismo, tantas veces como se requiera. Si el dígito del cociente es pequeño, ésta puede ser mejor idea que la anterior. Si no, puede ser mejor la anterior.

Dividir sólo el primer dígito del dividendo entre el primer dígito del divisor

Para algunas combinaciones de dividendo y divisor, «tapar» o ignorar todos los dígitos que no sean el primero y hacer el cálculo sólo con los primeros dígitos puede funcionar. Si se trata de un número de dos cifras y la unidad es 0, 1, 2 en muchos de los casos puede ser suficiente. Si no, es mejor usar otra estrategia. Veamos un caso que sí funciona en cada paso y otro caso que no:

Si es un número de 2 dígitos que termina en 1, puede funcionar, pero si termina en 9 es poco probable que funcione. En este caso, 39 está más cerca de 40 que de 30, por eso no funciona sólo dividir 9 entre 3.

Estimar el cociente con base a todas las cifras del divisor y las correspondientes del dividendo.

Considero que usar estimaciones es la mejor estrategia para dividir. Desarrolla el sentido numérico y, cuando tenemos práctica suficiente, es la forma más rápida de hacer la división, sobre todo si es una división con pocos dígitos en el cociente. Un poco de prueba y error vienen bien de vez en cuando en matemáticas.

¿Cómo estimar de forma eficiente? Veamos algunos ejemplos:

Si vamos a dividir entre 18, 19, 20, 21, 22, hacemos el cálculo somo si fuéramos a dividir entre 20, determinamos la cifra del cociente. Podemos hacer la multiplicación a un lado, para comprobar si se acerca sin pasarse.

Lo mismo para cualquier otra decena: al dividir entre 38, 39, 40, 41, 42 hacemos el cálculo como si fuéramos a dividir entre 40. Para 98 y 99 podemos pensar en dividir entre 100.

En cambio, si vamos a dividir entre 33, 34, 35, 36, 37, hacemos el cálculo como si fuéramos a dividir entre 70 (que es el doble de 35) y duplicamos ese número. Luego hacemos la multiplicación a un lado, para comprobar si se acerca sin pasarse. En este caso hice la multiplicación directo en la operación y resultó que no era suficiente elegir 8.

Lo mismo para cualquier otra decena: al dividir entre 43, 44, 45, 46, 47 hacemos el cálculo como si fuéramos a dividir entre 90. Si no alcanza ni una vez al dividir, el dígito del cociente debe estar entre 0 y 1 y debe ser fácil de determinar. Para números más grandes, alrededor del 55, 65… se dividiría entre 110, 130 y luego se duplicaría.

¿Qué otras estrategias conocen para estimar el cociente?

Nota: eso de «hacer la multiplicación a un lado» conviene hacerlo de una forma ordenada, pues puede servirnos más de una vez cada una.

Comprobación de la división

Debe tenerse en cuenta lo que significa el residuo que obtuvimos, si está en unidades, en décimos, etc. al hacer los cálculos, como expliqué un poco antes en esta misma entrada.

Se puede comprobar haciendo el proceso inverso: Multiplicando el cociente por el divisor y sumando el residuo correctamente expresado se debe llegar al dividendo.

También se puede hacer una comprobación con nueves. La raíz digital del producto del divisor por el cociente, sumado con el residuo debe ser igual que la raíz digital del dividendo. Ver cómo hacerla aquí.

¿El cociente siempre es menor que el dividendo?

Debemos tener cuidado al expresarnos, pues, si afirmamos que siempre que dividimos obtenemos un número más chico que el dividendo, nuestros hijos y alumnos se sentirán confundidos cuando se encuentren un resultado como éste, en el que el cociente es mayor al dividendo:

25 / 0.5 = 50

Al igual que en la multiplicación obtenemos un número más pequeño si multiplicamos por un número menor a 1, en la división obtenemos un número más grande si dividimos entre un número menor a 1.

Para cerrar

Con esta entrada cierran los algoritmos de las cuatro operaciones básicas. ¿Existe algún otro algoritmo que quieran entender? Escríbanme en los comentarios, por favor, para considerarlo para una entrada futura. Como siempre, gracias por leer la entrada y por compartirla a quienes pueda resultar útil.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer