Ésta es la entrada 92 de este blog. 92 se puede factorizar de forma simpática como 23 x 4, así que dedicaremos esta entrada a las factorizaciones numéricas, de forma tal que los profesores de primaria puedan preparar mejor a sus alumnos para que, al llegar a secundaria, puedan realizar con más facilidad las factorizaciones algebraicas.

Como base para comprender este tema, necesitamos entender a los números primos, sobre los cuales escribí en la entrada pasada (ver aquí). También al sentido numérico, sobre el cual escribí en las entradas 3 y 23, y de alguna forma, también a las fracciones, sobre las cuales escribí en las entradas 4, 5 y 6. Vaya… las entradas 23, 4 y 92 quedarán relacionadas, interesante.

Ah, además es importante saberse las tablas de multiplicar, sobre ellas escribí las entradas 14 y 15.

Reversibilidad

En cuanto un niño aprende a multiplicar, por reversibilidad (ver más aquí) podemos enseñarlo a factorizar y a dividir.

Distingamos ambos procesos: un número se puede dividir entre cualquier otro diferente de cero; en ocasiones el resultado de la división será exacto (residuo cero) y en ocasiones no lo será (residuo diferente de cero).

Cuando el resultado de la división es exacto, tanto el divisor como el cociente son factores del dividendo.

Veamos un par de ejemplos:

5 x 8 = 40
40 / 5 = 8 y sobran 0; por lo tanto, 5 y 8 son factores de 40
41 / 5 = 8 y sobra 1; por lo tanto, 5 y 8 NO son factores de 41

Lo anterior se puede hacer con la mayoría de las tablas de multiplicar, enseñar de ida y vuelta, exacto y no exacto.

¿Cuántos factores diferentes puede tener un número mayor a 1?

Si es un número primo, sólo tendrá como factores a sí mismo y la unidad:

Los factores de 23 son sólo 1 y 23

Estas son las posibles factorizaciones del 23 (recuerden que “el orden de los factores no altera el producto”):

1 x 23 = 23

Si es un número cuadrado, tendrá un número non de factores; él mismo, la unidad, el número del que es cuadrado y, en algunos casos, otros pares de factores:

Los factores de 4 son 1, 2 y 4

Y sus factorizaciones: 1 x 4 = 2 x 2 = 4

Los factores de 16 son 1, 2, 4, 8 y 16

Y sus factorizaciones: 1 x 16 = 2 x 8 = 4 x 4 = 16

Si es un número no cuadrado, tendrá un número par de factores; él mismo, la unidad, y uno o varios pares de factores más:

Los factores de 92 son 1, 2, 4, 23, 46, 92

Y sus factorizaciones: 1 x 92 = 2 x 46 = 4 x 23 = 92

Este apartado es relevante porque, cuando tenemos una idea de la forma que tiene lo que estamos buscando, es más fácil encontrarlo. Si estamos buscando todos los factores de un número, conviene saber que siempre se encuentran en pares, a no ser que el número sea cuadrado.

Existen al menos dos tipos de factorización, que cumplen dos objetivos distintos. Una es la factorización en dos factores y otra es la factorización en factores primos. Veamos cada una:

Factorización en dos factores

La factorización en dos factores sirve, por ejemplo, para investigar:

Si tenemos 24 dulces, ¿entre cuántos niños los podríamos repartir, de forma que le tocara la misma cantidad a cada uno, sin que sobraran?

1 niño, 24 dulces/niño
2 niños, 12 dulces/niño
3 niños, 8 dulces/niño
4 niños, 6 dulces/niño
6 niños, 4 dulces/niño
8 niños, 3 dulces/niño
12 niños, 2 dulces/niño
24 niños, 1 dulce/niño

Noten que aquí sí fue relevante el orden de los factores, no porque alteraran el producto, que siempre resulta en 24 dulces, sino porque cada factor se le asigna a algo diferente (niños vs dulces/niño) y eso hace que la repartición sea diferente según el orden de los factores.

Esta factorización también sirve para factorizar expresiones algebraicas de este tipo:

x^2 + 27 x + 92

En estas factorizaciones, es necesario encontrar dos números que multiplicados den 92 y sumados den 27. Creo que ya saben la respuesta: 23 y 4.

x^2 + 27 x + 92 = ( x + 23 ) ( x + 4 )

Escribiré una entrada posterior sobre productos notables y factorización, hoy sólo dedicaré unas líneas más a explicar cómo se buscarían el 23 y el 4 de una manera sistemática:

Se obtiene la raíz cuadrada de 92, que es 9 y sobran 11. Así que se dividirá 92 entre todos los números desde el 1 hasta el 8 (entre el 9 ya sabemos que no dará exacto) y se tomará nota de las divisiones que dan exactas, para formar los pares de factores:

92 / 1 = 92
92 / 2 = 46
92 / 4 = 23

Listo, no hay más pares de factores, sólo se tienen 1 x 92, 2 x 46 y 4 x 23. De ahí se escoge el par que, sumado, da 27, que es el último.

Existen más formas de encontrar ese par de números, pero a mí esa me parece muy práctica por ser sistemática y no dejar fuera ninguna posibilidad.

¿Qué otras aplicaciones de la factorización en dos números conocen?

Factorización en factores primos

La factorización en factores primos, esto es, descomponer un número en tantos factores como sea necesario para que todos sean números primos, tiene varias aplicaciones también. De las primeras que se aprenden, están el encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD). Ya había escrito al respecto de esos procedimientos en una entrada anterior, retomaré lo esencial a la factorización en factores primos en ésta.

Recordemos que todo número entero positivo se puede descomponer en una forma única como un producto de factores primos.

Además, si un número primo divide a un producto ab, el número divide a a o divide a b.

Por ejemplo, si 92 = 23 * 4, y 2 divide a 92, entonces 2 divide o a 23 y/o a 4 (en este caso a 4).

Cuando se desea buscar el máximo común divisor (MCD) de dos o más números, una forma de hacerlo es descomponer cada uno en sus factores primos y, posteriormente, multiplicar todos los factores primos que se repitan.

Por ejemplo, para obtener el MCD de 18 y 24, se descomponen en sus factores primos:

18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3

Los que se repiten son un dos y un tres, así que el MCD de 18 y 24 es 2 x 3 = 6

El máximo común divisor sirve para simplificar una fracción en un solo paso y para hacer factorizaciones algebraicas que inician obteniendo un factor común.

Cuando se desea buscar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, una forma de hacerlo es descomponer cada uno en sus factores primos (similar a lo anterior) y, posteriormente, multiplicar todos los factores primos combinados, pero aquellos que se repiten se multiplican una sola vez:

Por ejemplo, para obtener el mcm de 18 y 24, se descomponen en sus factores primos:

18 = 2 x 3 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3

Los que se repiten son un dos y un tres, así que el mcm de 18 y 24 es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72

El mínimo común múltiplo sirve para homogeneizar fracciones igualando sus denominadores, para poder sumarlas o restarlas.

Para cerrar

Conocer de dónde vienen y hacia dónde van los aprendizajes de los conocimientos matemáticos de nuestros alumnos nos ayuda a acompañarlos mejor para que los conocimientos que adquieren con nosotros les sean mucho más útiles en el futuro.

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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