En la entrada anterior (ver aquí) presenté tres estrategias para aprender y practicar las tablas de multiplicar. Una basada en observación de patrones, otra en tarjetas y una más en la vida diaria. En ésta presentaré más estrategias para que todos lleguemos a dominar las tablas al derecho y al revés. Eso de verdad hará una gran diferencia en nuestras vidas, nos abrirá la puerta a conocimientos matemáticos a los que no podíamos acceder por falta de esa habilidad. ¿Cómo podría alguien dividir dos números de 3 cifras, sacar raíces cuadradas o factorizar un trinomio sin saberse las tablas de multiplicar?
Nota, a lo largo del texto encontrarán un par de preguntas que contestaré hasta el final, para darles tiempo de pensar.

Todo lo que presento en esta entrada les ayudará a desarrollar tanto el sentido numérico (ver más aquí) como el pensamiento lógico (ver más aquí), que yo considero que son los dos pilares para una buena relación con las matemáticas.

Comencemos.

Cien fichas

Se acomodan en un cuadrado 100 fichas: 10 x 10, identificando cada fila y columna con números del 1 al 10. (Nota: se puede hacer hasta el número máximo del que se deseen practicar las tablas, ya sea 10, 12, 15, 20, etc.)

El resultado de cualquier multiplicación se obtiene contando las fichas que hay en el rectángulo que se forma con la fila y columna correspondiente a la multiplicación, como se ve en la imagen. 6 x 5 = 30.

También se pueden acomodar sólo 6 columnas de 5 fichas y contar que son 30 en total. En un inicio, el conteo y la suma reiterada ayudan a calcular los resultados de las multiplicaciones. Después de calcularlos suficientes veces, acabamos por aprenderlos de memoria, para usarlos con rapidez cuando los necesitemos.

Encontrar los factores usando fichas

Siempre se puede aprovechar algo que se está haciendo para llegar un poco más lejos en la comprensión.

Si se tienen, por ejemplo, 12 fichas, se puede intentar acomodarlas para que formen rectángulos. Las opciones posibles serán rectángulos de:

1 x 12,    2 x 6,    3 x 4,    4 x 3,    6 x 2,    12 x 1.

Esas son las seis formas en que 12 se puede obtener a partir de dos factores. Esto será muy útil al dividir y al realizar factorizaciones algebraicas.

En estas imágenes se considera la cantidad de columnas como primer factor y la cantidad de filas como segundo.

Si un número dado de fichas no se puede acomodar más que en una fila o columna (rectángulo de altura o base igual a 1), entonces se trata de un número primo (ver más aquí). Como 3 fichas sólo se pueden acomodar en un rectángulo que tenga altura o base igual a 1, 3 es un número primo.

Si un número dado de fichas se puede acomodar en forma de cuadrado, la cantidad de fichas que haya en un lado será la raíz cuadrada del número. En este caso, se tienen 9 fichas que se pudieron acomodar como un cuadrado de 3 x 3, por lo tanto la raíz cuadrada de 9 es 3 y el cuadrado de 3 es 9.

Multiplicar por 11 y por 12

Es común que se pida en la escuela que se memoricen las tablas hasta la del 12. En ese caso, se pueden hacer las tarjetas correspondientes para practicar las tablas necesarias, como sugerí en la entrada pasada. También conviene observar que multiplicar por 11 los números hasta el 9 sólo implica repetir el número en las decenas y las unidades:

11 x 7 = 77

Por cierto, para multiplicar por 11 un número entre 10 y 99, existe un truco muy interesante que se basa en la forma como se multiplicaría con todos los pasos:

   25 x
   11 =
   25
 250
 275

Observen lo que pasa con las cifras del número que se multiplicó por 11: la cifra de la decena se convierte en la cifra de la centena. La cifra de la unidad se conserva y la cifra de la decena se obtiene al sumar las dos cifras. Pueden ver la explicación de por qué poner un cero bajo el cinco aquí.

Se pueden imaginar que el número se «abre», y la suma de las cifras se escribe en medio de ellas, así:

34 x 11 = 374

Sólo tengan cuidado cuando la suma sea mayor a 9:

37 x 11 NO es 3107
37 x 11 es 407  (el 3 y el 1 se suman)

Para multiplicar por 12, se puede recordar, por ejemplo, que es lo mismo que multiplicar por 6 y luego por 2. Como sugerí en la entrada pasada, se pueden ir integrando las multiplicaciones hasta el 12 en las tablas más pequeñas en ambos órdenes, de forma que al llegar a la tabla del 12, sólo quede por aprender 12 x 12 = 144.

“Matriz” de las tablas de multiplicar

Esta imagen es una «matriz» (tabla con datos en dos dimensiones) con los resultados de las tablas del 1 al 12 en la intersección correspondiente a los números que encabezan cada fila y columnas. Pueden observarse patrones interesantes.

Si se compara con lo que acabamos de hacer de las fichas, puede verse que el valor de un cuadrito dado es la cantidad de cuadritos que hay en el rectángulo que empieza en la esquina superior izquierda y termina en ese cuadrito (sin contar los encabezados de fila y columna).

También pueden verse las distintas formas de conseguir un 12 multiplicando dos números, que aparecen de forma simétrica en la matriz.

Además, en cualquier “cuadrado” de cuatro cuadritos hay un número non y tres números pares (por ejemplo, el que está marcado con líneas punteadas abajo a la derecha). ¿Por qué?

Y todos los números que surgen de elevar al cuadrado son las esquinas de un cuadrado, no de un rectángulo, como los demás. Además, están a lo largo de la diagonal.

También podrán observar que 6 x 6 es 36 y, si sumamos y restamos uno a cada factor, obtenemos 7 x 5, que es una unidad menor, 35. Siempre sucede: 4 x 4 = 16 y 3 x 5 = 15 ¿Por qué creen que ocurre?

Multiplicar usando los complementos a 10 de los números

¿Y si usamos números pequeños para obtener los resultados de las multiplicaciones de los números grandes?

Esta estrategia ayuda a multiplicar los números más grandes que 5 usando sus complementos a 10, que son números más pequeños. Al principio puede parecer más trabajo que hacer las multiplicaciones como las conocemos o que aprenderse las tablas de memoria, pero es un trabajo muy productivo que desarrolla el sentido numérico y facilita que podamos saber el resultado de multiplicaciones como 15 x 13 casi inmediatamente y sin memorizar.

Veamos cómo funciona.

Para multiplicar 7 x 8, pensamos cómo obtenemos cada número a partir del 10.

El 7 se obtiene como 10 – 3 y el 8 como 10 – 2, entonces escribimos debajo de cada uno el -3 y el -2 correspondientes:

7     x     8
-3          -2

Ahora calculamos cuántas decenas tiene el resultado restando al 10 el 3 y el 2:

10 – 3 – 2 = 5, por lo tanto, el resultado tiene 5 decenas, o 50 unidades.

Luego multiplicamos el (-3) por el (-2): + 6.

Al resultado anterior le sumamos 6 unidades

5 decenas + 6 unidades es igual a 56, por lo tanto: 7 x 8 = 56

Probemos con 8 x 9

8     x    9
-2         -1

10 – 2 – 1 =7 decenas ->70
(-2) x (-1) = +2
Por lo tanto 8 x 9 = 72

Cuando las unidades resultantes son más de 9

Es necesario tener cuidado cuando las unidades son más de 9, porque deben sumarse todas a la primera parte del resultado.

6     x     7
-4          -3

10 – 4 – 3 = 3 decenas ->30
(-4) x (-3) = 12
6 x 7 = 42

¿Cómo usar este método con niños que no conocen los números negativos?

Sé que, cuando se ven en la primaria las tablas de multiplicar, aún no se han visto los números negativos, ni las reglas para multiplicarlos.

En ese caso, podría ponerse las diferencias sin signos, sólo indicando que lo que debe hacerse es restar:

Multiplicación: 7 x 7

7    x    7
3          3

10 – 3 – 3 = 4 decenas -> 40
3 x 3 = 9
Por lo tanto: 7 x 7 = 49

Por lo tanto, si se enseña el método SOLO para números menores de 10, pueden no usarse los signos y dar la instrucción de restar el 10 menos ambas diferencias.

Si se quiere enseñar para todas las combinaciones de números mayores y menores de 10, es necesario incluir el signo en el procedimiento, como veremos ahora.

Multiplicar números mayores y menores a 10 usando las diferencias con el 10

En este caso es indispensable señalar si para llegar al número a partir del 10 es necesario sumar o restar.

Veamos un caso combinado : 8 = 10 – 2 y 13 = 10 + 3, por lo tanto:

8    x    13
-2         +3

10 – 2 + 3 = 11 -> 110
(-2) x (+3) = -6
8 x 13 = 104

Ahora con sólo mayores de 10:

15     x     13
+5            +3

10 + 5 + 3 = 18 -> 180
(+5) x (+3) = 15
15 x 13 = 195

Con la práctica se llega a tener la habilidad de hacer todos los cálculos en la mente, dado que las operaciones se hacen con números pequeños. La velocidad y facilidad para hacerlo son una gran ventaja cuando se está en un examen, por ejemplo.

Paréntesis algebraico: ¿por qué funciona ese método para multiplicar?

Si les intriga entender por qué funciona el método, aquí está la explicación para números menores a 10, que se puede extrapolar a las otras combinaciones, cambiando los signos. Si prefieren sólo confiar en que funciona y ahorra tiempo, pueden brincarse esta sección.

Si los números originales son a y b, y sus complementos a 10 son c y d:

a + c = 10 -> a = 10 – c
b + d = 10 -> b = 10 – d

La multiplicación se puede escribir de estas dos formas y desarrollarse como:

a x b = (10 – c) (10 – d) = 100 – 10d – 10c + cd

Si factorizamos un 10 de los primeros 3 términos y reordenamos las letras:

a x b = 10 (10 – c – d) + cd

Por ello las decenas se obtienen de restar 10 menos ambos complementos a 10 y las unidades de multiplicar los complementos a 10.

Fin del paréntesis algebraico, volvamos a la aritmética

Multiplicar números entre 6 y 9 con las manos

Este procedimiento se basa en el mismo principio que el que acabo de presentar, sólo que se usan los dedos para identificar los complementos a 10.

Se numeran los dedos de cada mano del 6 al 10, del pulgar al meñique:

Se unen los dedos correspondientes a los números que se quieran multiplicar y se cuentan todos los dedos desde cada pulgar hasta los que están unidos. Esas son las decenas (esto equivale a restar a 10 los complementos a 10 de cada número).

Se multiplican los dedos que quedaron sueltos en cada mano (equivale a multiplicar los complementos a 10 de cada número).

Se suman las decenas más las unidades para obtener el resultado. Veamos dos ejemplos:

En este ejemplo se unen los dedos correspondientes al 8 de la mano izquierda y al 7 de la mano derecha. Desde el pulgar hasta cada dedo unido en total hay 5 dedos, 5 decenas, 50 unidades. Los dedos sueltos son 2 y 3, que se multiplican para dar 6 unidades. El resultado de 8 x 7 es 50 + 6 = 56

 En este ejemplo se unen los dedos correspondientes al 7 de la mano izquierda y al 7 de la mano derecha. Desde el pulgar hasta cada dedo unido en total hay 4 dedos, 4 decenas, 40 unidades. Los dedos sueltos son 3 y 3, que se multiplican para dar 9 unidades. El resultado de 7 x 7 es 40 + 9 = 49

También habrá casos en que las unidades sean más de 10, como al unir los dedos correspondientes a 6 y 6 (ambos pulgares). En ese caso, hay 2 decenas (los 2 pulgares) y quedan 4 dedos sueltos en cada mano, lo cual equivale a 16 unidades: 6 x 6 = 20 + 16 = 36.

Nota, este método se puede usar también para multiplicar por 10, uniendo el meñique de una mano con el dedo correspondiente al número de la otra mano e identificando que de un lado quedaron cero dedos, pero en este caso es más sencillo agregar un cero a la derecha del número.

Con las manos también existe una forma de multiplicar los números del 1 al 10 por 9, que expliqué en la entrada en la que escribí sobre el 9. Lo pueden ver aquí.

Reversibilidad

Se aprende mejor si se entienden y dominan los procesos de ida y vuelta.

Si ya se dominan las tarjetas con las multiplicaciones, presentadas en la entrada pasada (ver aquí), lo siguiente es hacer otro grupo de tarjetas con esos mismos números escritos como división:

7 x 8 = 56 -> 56 / 7 = 8

Se pueden invertir de esa manera casi todas, sólo es necesario tener en cuenta lo siguiente: 0 / 9 = 0 pero 0 / 0 NO es igual a 0.

Si observamos el patrón de la tabla del 0,  0 / 0 realmente pudo salir de cualquiera de las opciones, dado que cualquier número multiplicado por cero da cero. Así que cuando vemos un 0 / 0 la respuesta correcta es: indeterminado (significa que se requiere más información para determinar el resultado, es decir, qué se multiplicó originalmente por cero)

Las tarjetas en sí se usan igual que las de multiplicación, preguntándolas, poniéndolas en montones según lo bien que nos las sabemos y practicando hasta dominarlas todas.

Clasificación de tarjetas de multiplicación

Con las tarjetas que sugerí elaborar en la entrada pasada se pueden hacer varias actividades más.

Para seguir identificando patrones, podemos separar las tarjetas en las que tienen resultados nones y pares (se notará que un montón tiene el triple de cartas que el otro).

O poner juntas todas las que tienen los mismos resultados: ahí quedará claro todas las formas de obtener un 12, por ejemplo

O separar las que tienen resultados que son números al cuadrado, o las que tienen alguna otra característica sobre la que queramos llamar la atención.

Se puede hacer algo similar con las tarjetas de división, clasificando según alguna característica que nos interese destacar.

Números en movimiento

Depende del lugar donde vivan, las placas de los coches pueden ser una buena fuente de práctica de las tablas durante los traslados. Si se trata de un lugar donde las placas tengan dos pares de números, por ejemplo, se puede ir practicando a multiplicar por separado cada par, luego los externos entre sí y los internos entre sí.

9 x 2 = 18,    6 x 3 = 18,    9 x 3 = 27,    2 x 6 = 12…

Se puede jugar a adivinar, antes de multiplicar, cuál de los dos productos será mayor (es aún mejor si se explica por qué), por ejemplo, o si serán iguales entre sí o a alguno de otra placa que se vea por ahí.

Si las placas sólo tienen 3 números, se pueden practicar las 3 combinaciones de multiplicaciones posibles, o inventar otro juego que su creatividad les inspire.

Repartir

Los repartos que hacemos en el día a día permiten practicar la multiplicación y la división. Si compramos 3 pizzas de 8 rebanadas cada una y somos 6 personas ¿cuántas rebanadas le tocan a cada quién?
Tenemos 3 x 8 = 24 rebanadas
Nos tocan 24 / 6 = 4 rebanadas a cada quién

¿Qué ocurre si queremos hacer brownies para repartir equitativamente entre los asistentes a una cena y no sabemos si habrán 4, 6 u 8 personas? Cuando salgan del horno, podemos partir de forma que queden 24 piezas, así les tocarán 6, 4 o 3 a cada una, según los que lleguen. Para determinar el 24, se busca en la matriz, que presenté anteriormente, un número que esté en todas las filas de las opciones de asistentes: 4, 6 y 8. Están tanto el 24 como el 48. Yo elegí el 24 para que sea más sencillo partir. El 24 es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.

Para cerrar

Aquí están las respuestas a las interrogantes:

¿Por qué 6 x 6 = 36 y 5 x 7 = 35?

Si usamos fichas para acomodar 6 x 6 y luego quitamos una tira y la acomodamos para que quede 5 x 7… sobra una ficha. Lo mismo si acomodamos 4 x 4 y luego 3 x 5. Siempre sobrará una ficha si cambiamos de multiplicar un número por sí mismo a multiplicar un número una unidad mayor por un número una unidad menor.

Y si lo hacemos variando 2 unidades: 6 x 6 = 36, 4 x 8 = 32. Baja 4 unidades (el cuadrado del número que aumenté/disminuí).

Y si lo hacemos con 3 unidades: 6 x 6 = 36, 3 x 9 = 27. Baja 9 unidades (el cuadrado del número que aumenté/disminuí).

Interesante, ¿verdad?

¿Por qué 1 de cada 4 cuadritos es non y la cantidad de tarjetas con resultados pares es el triple que la de nones?

Sólo 1 de cada 4 resultados puede ser non, porque las combinaciones al multiplicar son:
Non x non = non
Non x par = par
Par x non = par
Par x par = par

Encontrar patrones como los presentados aquí es muy interesante y nos ayuda a desarrollar el pensamiento lógico que nos permite, entre otras cosas, saber qué sigue en un proceso, determinar si nuestros resultados tienen sentido, llegar a resultados por caminos diferentes, basados en las características del ejercicio con el que estamos trabajando, etc.

Dominar las tablas al derecho y al revés nos ayuda a desarrollar el sentido numérico, que permite elegir las mejores estrategias al realizar cálculos numéricos.

Y, como mencioné al principio, considero que el pensamiento lógico y el sentido numérico son los dos pilares en los que se soporta una buena relación con las matemáticas. Por eso, las tablas de multiplicar ameritaron dos entradas.

Como siempre, gracias por leer y compartir. Espero que estas nuevas estrategias los lleven a que las multiplicaciones y divisiones sean su aliado y les abran las puertas para hacer con facilidad actividades matemáticas más complejas.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/ y a Excel y Word, en los que elaboré las tablas y dibujos.