Ésta es la entrada 93 de este blog. Como en la anterior (ver aquí) su número, 93, se puede factorizar de una forma simpática: 31 x 3 que es un poco capicúa (sólo por los números, ya con la operación deja de serlo).

Como tengo algunas semanas que los números capicúa o palíndromos aparecen por aquí y por allá en mi vida, decidí dedicar esta entrada a esos simpáticos números y a algunas ideas relacionadas que pueden ayudarnos a desarrollar el sentido numérico y el pensamiento lógico matemático de los alumnos.

Hace tiempo escribí una entrada sobre los números romanos, incluyendo los capicúas en esa numeración. Pueden verla aquí.

¿Qué es un número capicúa?

Es un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. La palabra capicúa se refiere a cabeza/cola, pues es un número cuya cabeza y cola son iguales.

También se les puede llamar palíndromos, aunque me parece que esa definición está más relacionada con palabras palíndromas que se leen igual al derecho y al revés, como: ANA, OSO y RECONOCER.

Capicúas básicos

Todos los números de una cifra son capicúas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Todos los números de dos cifras que son capicúas constan de un mismo dígito repetido y son divisibles por 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Los siguientes capicúas de 3 dígitos son divisibles por 11 dos veces, es decir, son divisibles por 121: 121, 242, 363, 484.

Escribiendo números al azar y luego repitiéndolos “de reversa” lleva a formar cualquier número capicúa que se nos ocurra, sin usar ninguna operación matemática para formarlo:

123321

El capicúa de un número

Es una idea distinta a la que acabo de mencionar. El capicúa de un número dado (cualquiera) se obtiene sumando al número su reverso, hasta llegar a un número capicúa. Por ejemplo, para el 93:

93 + 39 = 132
132 + 231 = 363

Cuando en el proceso se llegó a un número formado por cifras menores a 5, como en este caso, es seguro que en el siguiente paso se llega al capicúa. Si no, puede que tome unos cuantos (o muchos) pasos más.

También los capicúas tienen sus capicúas. Si el primer capicúa está formado por cifras menores a 5, en un primer paso se obtiene su capicúa relacionado:

121 + 121 = 242

Si, en cambio, el primer capicúa contiene alguna cifra mayor a 5, tomará más pasos, incluso puede ser que no se encuentre después de muchísimos pasos:

363 + 363 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

El capicúa de 363 es 4884

Buscar el capicúa de un número es útil para practicar sumas consecutivas sin un final conocido. Puede ser muy interesante buscar algunos patrones, como el hecho de que cuando todos los dígitos son menores a 5 se obtiene un segundo capicúa en un solo paso.

¿Qué otro patrón pueden observar?

Los capicúas en los odómetros

Imaginen que quieren tomarle una foto a un odómetro (cuentakilómetros) de un coche cuando se muestre un número capicúa. Si se les pasa por 1 kilómetro, ¿cuántos kilómetros tardará en mostrarse el siguiente número capicúa? ¿Es lo mismo partiendo de cualquier valor?

Probemos con el odómetro de un coche un poco viejito:

Si volteamos a ver el odómetro cuando éste muestra 70108, habremos perdido la oportunidad por un kilómetro.

El siguiente capicúa será el 70207, ¡99 kilómetros después!

Si luego lo vemos en el 71518, nuevamente se nos pasó por 1 kilómetro. Y nuevamente requeriremos recorrer 99 kilómetros para llegar al siguiente número capicúa: 71617.

¿Notan el patrón? Si el kilometraje es un número de 5 cifras, la cifra central corresponde a las centenas y, por tanto, cada 100 kilómetros encontraremos en el odómetro un número capicúa.

Pensemos ahora en un coche más nuevo, que tiene menos de 10 000 km.

Si volteamos a ver el odómetro cuando éste muestra 7008 habremos perdido la oportunidad por un kilómetro. El siguiente capicúa es el 7117, 109 kilómetros después.

Si lo vemos en el 7228, requeriremos recorrer otros 109 kilómetros para llegar a 7337.

¿Notan el patrón? Si el kilometraje es un número de 4 cifras, las cifras centrales corresponden a centenas y decenas y, por tanto, cada 110 kilómetros encontraremos en el odómetro un número capicúa.

Veamos el patrón para diferente cantidad de cifras:

En un número de 2 cifras, cada 11 números habrá un capicúa: 11, 22, 33…

En un número de 3 cifras, cada 10 números habrá un capicúa: 101, 111, 121… (cuando hay cambio de centena, se necesita avanzar 11 números, como de 191 a 202)

En un número de 4 cifras, cada 110 números habrá un capicúa: 1001, 1111, 1221… (cuando hay cambio de unidad de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 1991 a 2002)

En un número de 5 cifras, cada 100 números habrá un capicúa: 10001, 10101, 10201… (cuando hay cambio de decena de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 19991 a 20002)

En un número de 6 cifras, cada 1100 números habrá un capicúa: 100001, 101101, 102201… (cuando hay cambio de centena de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 199991 a 200002)

El patrón general es:

Si la cantidad de cifras (n) es non, la cantidad de números que separan un capicúa del siguiente se forma con un 1 más (n-1)/2 ceros.

Si fueran 9 cifras, cada 10000 (un 1 más (9-1)/2 ceros) números habrá un capicúa. Ese 1 está al centro de un número de 9 cifras.

Si la cantidad de cifras (n) es par, la cantidad de números que separan un capicúa del siguiente se forma con un 11 más n/2 -1 ceros.

Si fueran 10 cifras, cada 110000 (un 11 más 10/2 – 1 ceros) números habrá un capicúa. Ese 11 está al centro de un número de 10 cifras.

En todos los casos, al cambiar la primera cifra, la distancia entre los dos capicúas es sólo 11.

Ricemos más este rizo:

¿Cuántos capicúas hay de 2 dígitos? 9, porque son todos los que tienen las dos cifras iguales, del 11 al 99.

¿Cuántos capicúas hay de 3 dígitos? 90, imaginen que a cada uno de los 9 anteriores le pueden poner enmedio una de las 10 cifras diferentes: 9 x 10 = 90 opciones.

¿Cuántos capicúas hay de 4 dígitos? La misma cantidad, 90, porque un capicúa de 3 cifras sólo puede convertirse en un capicúa de 4 cifras en el que las dos centrales sean iguales a la central del de 3 cifras: 101 -> 1001.

¿Y de 5 dígitos? 900, porque a cada capicúa de 4 cifras se le puede agregar una de las 10 cifras diferentes: 90 x 10 = 900.

Y así sucesivamente.

Encontrar estos patrones y cantidad de combinaciones es un ejercicio interesante que lleva a desarrollar tanto el pensamiento lógico matemático (que implica, justamente, reconocimiento de patrones) como el sentido numérico, pues al jugar con los números mejoramos nuestra habilidad para hacer operaciones con ellos.

¿Y si nos hacen la ubicua pregunta?

¿Por qué estamos haciendo esto, maestra/profesor?

Porque descubrir patrones en la vida, además de ser emocionante y retador, es una de las cosas más importantes que podemos hacer con nuestra inteligencia y voluntad, porque muchas veces nos permite entender y predecir lo que pasará y usarlo a nuestro favor.

Entendiendo lo que ocurre y aprendiendo a predecir cuándo encontraremos el siguiente capicúa podemos aprender a entender y predecir otras cosas. También descubrir cuántas posibilidades distintas hay de algo puede resultar útil. En los inicios de los asentamientos humanos, por ejemplo, descubrir el patrón que seguían las estaciones del año ayudó a saber cómo sembrar. Y observando cómo se comportan los astros se pueden predecir las fases de la luna y sus efectos sobre la tierra. Y revisando cuántas camisas y pantalones distintos tenemos podremos saber de cuántas formas distintas nos podríamos vestir si no quisiéramos repetir nunca un conjunto de ropa (críticos de moda, absténganse de opinar que algunas combinaciones pueden lucir muy mal).

Si somos observadores y descubrimos patrones como: cada que hacemos tal cosa pasa tal otra cosa; podremos hacer más de aquello que tiene consecuencias agradables y menos de aquello que tiene consecuencias desagradables.

Otros capicúas obtenidos a partir de operaciones

El 1 y el 11 aparecen frecuentemente relacionados con los capicúas, como en las siguientes potencias:

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

1111111² = 1234567654321

11111111² = 123456787654321

111111111² = 12345678987654321

Un capicúa muy peculiar

El 1001 es un capicúa que tiene solamente los siguientes divisores primos: 7, 11 y 13 (vaya, el 11 vuelve a aparecer en escena).

¿Para qué sirve saber algo así?

Bueno, pues para saber que cualquier número de 6 dígitos en el que los primeros tres sean idénticos a los siguientes tres podrá dividirse progresivamente entre 7, luego entre 11 y luego entre 13, quedando un número de 3 dígitos que… adivinaron, son los que estaban repetidos al inicio.

Veamos un ejemplo, con un número que, además, haremos que sea capicúa, aunque no es indispensable, 939939:

939 939 / 7 = 134 277

134 277 / 11 = 12 207

12 207 / 13 = 939

Esto nos permite dar a nuestros alumnos ejercicios interesantes de división y/o divisibilidad. La primera vez que ven que pasa eso, que se puede inventar fácilmente un número de 6 cifras que sea divisible por 7, por 11 y por 13 ¡al mismo tiempo! y entienden por qué, es… muy emocionante.

Para cerrar

Muchos matemáticos hacen matemáticas por divertirse, por encontrar patrones, por observar la belleza de las relaciones numéricas, porque les emociona.

Jugar con capicúas puede llevarnos a ver las matemáticas así, practicando al mismo tiempo los que yo considero los dos pilares de la buena relación con las matemáticas: el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí) y el sentido numérico (ver más aquí y aquí).

Ah, por cierto, gracias a Kike, de Perú, que me compartió el dato de que hace poco se demostró que:

Todo número entero positivo es la suma de 3 capicúas.

Pueden leer más del tema aquí y aquí. Además, pueden entrar aquí y descomponer el número que ustedes quieran en 3 capicúas. ¡Muchas gracias, de verdad, Kike por tu aportación!

¿Qué otros juegos conocen, relacionados con capicúas?

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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