Me encanta armar rompecabezas. Poner orden donde antes había caos e identificar el lugar de cada pieza es un desafío emocionante, aunque limitado. Generalmente, la imagen final está predeterminada y cada pieza tiene una posición y una función única.

Un desafío más emocionante es armar objetos con piezas intercambiables. Una misma pieza puede tener distintas funciones según su posición. La relación entre dos piezas puede ser diferente según la forma en que se unan, esto es, según la estructura del objeto.

Las expresiones matemáticas, en especial las algebraicas, también tienen una estructura y están formadas por piezas, o elementos, cuya función es variable y depende de a qué otros elementos están unidos y de qué forma.

Elementos que se ven: explícitos

Algunos de los elementos más comunes en el álgebra son:

Dígitos o cifras, que sirven para formar números o cantidades de uno o más dígitos.  Cifra se considera sinónimo de dígito, pero en algunos contextos se usa como sinónimo de número. En nuestro sistema decimal tenemos diez dígitos:

Literales (letras), que sirven para representar cantidades desconocidas (incógnitas),  cantidades que varían (variables) o constantes especiales (pi, i, e, phi, etc.)

   

Símbolos, que son imágenes que representan signos o ideas matemáticas, como las que permiten comparar, agrupar o que le otorgan la característica de positivo o negativo a un valor.

Operadores, un tipo de símbolo que indica la operación a realizar con los números. Como verán, en algunos casos hay más de una forma de expresar una operación.

Los distintos tipos de símbolos unen a los números y las literales para que, todos en conjunto, expresen algo en forma matemática.

Elementos que no se ven: implícitos

Lo implícito es contrario a lo explícito. En álgebra, un elemento implícito no está escrito pero se debe considerar su valor (porque NO es cero) al trabajar con la estructura.

Esta es una expresión algebraica con todos sus elementos explícitos:

3: denominador

5: exponente

7: coeficiente

9: índice del radical

–: signo negativo

x: literal

Esta es una expresión algebraica con todos los elementos que pueden ser implícitos. A la derecha está una expresión equivalente, con los valores de esos elementos escritos, esto es, explícitos. Como mencioné, es importante reconocer el valor de los elementos implícitos al hacer operaciones: denominador, exponente y coeficiente implícitos valen 1, mientras que el índice implícito del radical vale 2. Una expresión algebraica con el signo implícito es positiva.

También hay operadores implícitos, como la suma del entero y la fracción en un número mixto y la multiplicación de un números, literales y paréntesis al escribirlos uno al lado de otro, respetando ciertas reglas, como puede verse en estos ejemplos y contraejemplos:

Un elemento especial: el signo igual

El signo igual es relativamente nuevo en las matemáticas, se usó por primera vez en el siglo XVI. Regularmente un niño lo ve por primera vez después de una operación de suma y con un espacio en blanco a la derecha. Durante varios años en su etapa escolar, el signo igual significa para él una invitación a hacer los cálculos u operaciones, que se le proponen a la izquierda del signo, y escribir el resultado a la derecha del mismo, en el espacio vacío:

2 + 3 =        invita a hacer a suma y escribir del otro lado del igual un 5.

En algún momento durante la primaria, según he visto, se le presentan al alumno expresiones donde hay datos a ambos lados del igual y el espacio vacío ahora está a la izquierda del signo igual, junto a algunos números y operadores. Este es un primer acercamiento al álgebra, ya que la actividad consiste en buscar el dato desconocido que hace válida la igualdad, objetivo de la solución de ecuaciones: 2 + _ = 5    ->   2 + x = 5. En este caso, el signo igual forma parte de una ecuación.

Las fórmulas son otra estructura matemática que contiene un signo igual, mediante el cual se relacionan constantes o variables matemáticas. Sirven para obtener un valor a partir de otros, como la fórmula del área de un rectángulo: A = b*h

Una fórmula puede servir de base a una ecuación, cuando se conocen todos los valores menos uno y se busca dicho valor, despejando, como en: Un rectángulo área 24 tiene como base 8, ¿cuál es su altura? 24 = 8 * h  -> h = 3

Una fórmula también puede servir de base a una función cuando se hace variar uno de los valores y se observa qué pasa con el otro: ¿Cuál es el área del rectángulo de base 8 en función de su altura? A = f(h) = 8 * h

Una función se puede tabular. En la tabla puede verse el área de un rectángulo de base 8,  según el valor de la altura (h):

Una función también se puede graficar:

Finalmente, una fórmula también puede servir de base para las identidades, que son necesarias para distintos procesos matemáticos, como las identidades trigonométricas:

Del aritmética al álgebra

Hacia el final de la primaria y el inicio de la secundaria ocurren dos transiciones importantes, que corresponden al inicio del trabajo algebraico:

El signo igual pasa, de ser una invitación a realizar cálculos, a formar parte de fórmulas, ecuaciones, funciones e identidades, como vimos en la sección anterior.

Las operaciones matemáticas pasan, de poder prácticamente siempre reducirse a una expresión más pequeña realizando la operación, a que frecuentemente no puedan reducirse, por incluir literales: 2 + 3 = 5, pero 2 + a = 2 + a.

Es necesario, por tanto, acompañar al alumno mientras comprende las nuevas formas de usar el signo igual y de trabajar con expresiones matemáticas. La costumbre de reducir expresiones matemáticas puede ser tan fuerte que los lleve a pensar que: 2 + a = 2a.

Ese acompañamiento puede hacerse de tal forma que se desarrolle el sentido de estructura, que ayuda a reconocer la estructura de una expresión algebraica para elegir la mejor forma de trabajar con ella.

Estructura de una expresión algebraica

Una expresión algebraica puede “traducirse” al español al leer su estructura, esto es, los elementos que la conforman y las relaciones entre ellos. De forma equivalente, un texto en español puede «traducirse» al lenguaje matemático al escribir una estructura algebraica equivalente al texto.

7 + x  se traduce como la suma de siete más equis.

El producto de siete por equis se puede escribir 7*x

El que la primera expresión sea una suma permite ciertas manipulaciones algebraicas que no son posibles para la segunda expresión, por ser un producto y viceversa. Por esa razón es tan importante el que el alumno observe con cuidado la estructura, la reconozca y la relacione con las manipulaciones que son válidas para ella.

El que una estructura donde el 7 y la x están unidos por una multiplicación puede transformarse de una forma que no aplica para una estructura en la que el 7 y la x están unidos por una suma, como puede verse en los ejemplos y contraejemplos anteriores.

Existen distintas formas de entender y manipular las estructuras algebraicas, unas más eficientes que otras. Lo más importante siempre será identificar correctamente la estructura de una expresión algebraica, así como los procedimientos que le aplican según sus características, como en el ejemplo anterior.

Estructural (conceptual) y procesal (procedimental): dos formas de ver y actuar

Desde hace más de cuatro décadas, diversos autores han estudiado esas formas de entender y manipular las estructuras matemáticas, principalmente las algebraicas. Algunos de esos autores son Richard Skemp, Anna Sfard, Eddie Gray, David Tall, Maureen Hoch, Tommy Dreyfuss, Danellys Vega-Castro y Marta Molina. Todos ellos consideran, de una manera u otra, llamándolas con diferentes nombres, que hay dos formas distintas de ver y actuar ante una estructura algebraica.

Quien ha desarrollado su sentido de estructura actúa más de forma estructural o conceptual: analiza la estructura del objeto (sus partes y las relaciones entre ellas), para elegir la mejor estrategia para realizar lo que se le pidió.

Quien no ha desarrollado su sentido de estructura actúa más de forma procesal o procedimental: aplica probablemente el primer procedimiento que se le viene a la mente, dada la estructura que alcanzó a percibir, sin analizar a fondo si la estructura percibida es correcta o el procedimiento empleado es el más adecuado para dicha estructura.

Se entenderá mejor con un ejemplo:

Así lo realizaría una persona de forma procedimental. Al no reconocer la estructura de la expresión como la de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer término al cuadrado es (x – 5), realiza un proceso válido, pero poco eficiente, hasta llegar al resultado:

Y así lo realizaría de forma conceptual. Al reconocer la estructura de la expresión como la de un trinomio cuadrado perfecto, cuyo primer término al cuadrado es (x – 5), puede factorizar en sólo dos pasos. Esto sólo es más rápido e implica números más pequeños y menos términos. También es menos propenso al error.

Ambos enfoques llevan a la respuesta correcta. Sin embargo, siempre será mejor detenerse a analizar una estructura algebraica antes de trabajar con ella, para encontrar la mejor forma de hacerlo.

En la etapa inicial del aprendizaje del álgebra quizá no haya muchos casos como éste. Conforme se avance en las distintas materias de matemáticas, el trabajar de forma conceptual comenzará a mostrarse como una estrategia mucho más eficiente que el trabajar de forma procedimental.

John Mason, Max Stephens y Anne Watson publicaron en el 2009 el artículo Appreciating mathematical structure for all, en el que exponen que el pensamiento estructural (sentido de estructura) nos permite explicar, conectar, ser conscientes de las propiedades de una estructura matemática y usar dichas propiedades para elegir las mejores estrategias para trabajar con ella.

Algo que me llama la atención de lo que mencionan estos autores es que el enfoque procedimental o estructural que logran los estudiantes depende de cómo se lleve a cabo la enseñanza. Eso significa que el profesor o papá puede encauzar a su alumno o hijo a usar estrategias procedimentales o estructurales.

¿Cómo desarrollar el sentido de estructura (pensamiento estructural)?

Las siguientes son sugerencias de los mismos autores: Pedir a los alumnos que realicen tareas matemáticas enfocados en la estructura de las expresiones, en vez (o al menos antes) de enfocarse en los procedimientos. Enfocarse en la estructura es observar todos sus elementos, implícitos y explícitos y las relaciones entre ellos, para identificar si trabajaremos con un binomio, un monomio, una ecuación, una función, etcétera y, posteriormente, elegir la mejor estrategia que pueda aplicarse a la estructura identificada para realizar lo que se nos pidió.

Afortunadamente no se requiere un microscopio para hacerlo, pero sí el enfoque cuidadoso en los detalles.

Otra opción es plantear actividades que no les sean familiares a los alumnos y encaminarlos para que las resuelvan de forma estructural, para que vayan acostumbrándose a dicha forma. Lo que ya les resulta familiar suelen hacerlo «en automático», por decirlo de alguna manera y será complicado convencerlos de que lo hagan de forma más «pensada». Lo no familiar lo harán con más cuidado, por ser nuevo, así que podemos aprovechar para orientar su forma de trabajar hacia un pensamiento estructural.

Finalizan sus recomendaciones señalando que el desarrollo del pensamiento estructural debe ir integrado al resto de los aprendizajes, no puede ser el objetivo de una clase, pues no existe por sí solo, sino que se muestra en los procesos de las personas.

Para cerrar

Así como nuestro ADN nos condiciona de cierta manera, la estructura de una expresión algebraica la condiciona para que se puedan emplear con ella sólo ciertas estrategias, algunas más eficientes que otras. La estructura algebraica de una expresión no está tan escondida como nuestro ADN. Aún así, necesitamos entrenarnos para observarla antes de actuar, es decir, desarrollar nuestro sentido de estructura. Éste, aunado al pensamiento lógico matemático y al sentido numérico facilitarán mucho nuestras actividades matemáticas.

Gracias por leer y por compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Pueden escribirme sus preguntas o comentarios en el apartado de «Comentarios», debajo del título de la entrada, o a través de la sección «Contacto». Contestaré.

Rebeca

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