Estoy 100% segura de que hay mucho que se puede decir sobre los porcentajes. ¿Qué significan? ¿Para qué se usan? ¿Cómo se calculan? ¿Qué cuidados debemos tener con ellos?, entre otras.

Aprovecharemos este tema para practicar un poco la interpretación de textos. Es algo sobre lo que aún no voy a escribir formalmente, pero que podemos ir revisando al ver otros temas, como el de hoy.

¿Qué es un porcentaje?

Empecemos por decir que el porcentaje es un concepto matemático que permite representar un cierto tipo de relación entre dos cantidades: una proporción, que puede ser escrita como una fracción, en la que la cantidad del numerador está incluida en la cantidad del denominador: si hay 2 niños por cada 10 personas, entonces hay un 20% de niños (los niños están incluidos en las personas).

Un contra-ejemplo sería una razón. En el caso anterior, la razón se daría al expresarlo como que hay 2 niños por cada 8 adultos, o una razón 2 a 8.

El símbolo %, con el que se acompaña una cantidad que es un porcentaje, es un símbolo matemático que equivale a un factor: 0.01. Es decir, 33% es lo mismo que 33 x 0.01 = 0.33. Veremos más adelante que en cierto tipo de cálculos se puede usar el 33% así como está, pero, en otras, se debe usar la expresión decimal, es decir, 0.33.

33% significa 33 de cada 100, por lo que también se puede expresar como 33/100. Al hacer la división, se llega a 0.33. Como vemos, todo es congruente, como suele ocurrir en matemáticas.

Al porcentaje también se le llama tanto por ciento, debido a la forma como se lee: Un porcentaje del 33% es lo mismo que un 33 por ciento. El “tanto” se reemplaza por el número correspondiente.

Es importante identificar que los porcentajes marcan proporciones que se dan entre cantidades que no siempre tienen 100 como base. Es decir, si hay 20 alumnas por cada 50 estudiantes, se dice que el porcentaje de alumnas es de 40%.

Podemos llegar a ese dato por dos caminos: dividiendo el número de alumnas entre el número total de estudiantes, 20 / 50 = 0.4 y re-expresando como porcentaje, según acabamos de ver: 40%, o comprendiendo que, si hubiera el doble de estudiantes, 100, habría el doble de alumnas, 40, para mantener la proporción, por lo que habría 40 alumnas por cada 100 estudiantes, es decir, un 40% de alumnas.

¿Para qué se usan los porcentajes?

Los porcentajes tienen una gran cantidad de usos en diferentes contextos, principalmente porque permiten identificar y/o comparar de forma más sencilla la información, siempre y cuando sepamos interpretarla bien.

Por ejemplo, si nos dicen que en un conjunto de canicas el 20% es verde, con un poco más de información podremos saber cuántas canicas son verdes. Si hay 10 en total, 2 serán verdes. Si hay 1 000, 200 lo serán. Se calcula multiplicando el porcentaje, 20%, expresado en decimal, 0.2, por la cantidad total: 10 x 0.2 = 2

Las tasas de interés están dadas en porcentajes porque es más sencillo saber que obtendremos 2 pesos por cada 100 al final de un año, a que nos den una tabla que diga: si depositas 101 pesos tendrás 2.02 pesos al final de un año, si depositas 100 tendrás 2 pesos, si depositas 99 tendrás 1.98 pesos… sería muy complicado y engorroso, ¿no creen? Por cierto, con los intereses hay un detalle que es necesario conocer para tener cuidado, lo explicaré un poco más adelante.

Algo similar pasa con los porcentajes de descuento en las tiendas. Si quisieran re-etiquetar todo con los precios ya rebajados tardarían mucho más que si sólo les agregan una etiqueta que indique el porcentaje de descuento, sin importar el precio original. Con los descuentos también hay un detalle que es necesario conocer y que explicaré más adelante.

Para comparar adecuadamente dos o más situaciones, también son útiles los porcentajes. Imaginen que en una población hay 1 000 personas menores de 18 años y en otra hay 500 personas menores de 18 años. Si sólo conocemos esos números, sólo podremos saber que en la primera población hay el doble de personas menores de 18 años que en la segunda y podremos pensar que es una población muy joven en general. Sin embargo, si tenemos también el dato de que en la primera población hay 10 000 personas y en la segunda hay sólo 1 000, ahora sabemos que en la primera el 10% de la población es menor a 18 años y en la segunda el 50% de la población lo es. Esta comparación es más útil y nos permite llegar a la conclusión de que la segunda población es, en proporción, más joven que la primera.

¿Cómo se cambia de expresar en decimales a expresar en porcentajes y en fracciones?

Teniendo claro que % significa x 0.01, es muy sencillo cambiar de decimal a porcentaje y de regreso:

9%  -> 0.09
0.18  -> 18%
531%  -> 5.31
0.0063  -> 0.63%

Siempre sugiero que se escriba el cero antes del punto decimal, para que sea más evidente que se trata de una cantidad decimal. Pueden ver más sobre el manejo de números decimales aquí.

Para cambiar de fracción a decimal y después a porcentaje, se puede hacer la división o se puede pasar por una fracción equivalente intermedia, en la que el denominador sea una potencia de 10. Esto último sólo es posible si el denominador original es una potencia de 2 o de 5 o una combinación de ambos:

1 / 4 = 0.25  ->  25%
1 / 4 = 25 / 100 = 0.25  ->  25% (al tener denominador 100 se puede pasar directo de 1/4 a 25%)
3 / 5 = 6 / 10 = 0.6 -> 60% 
2 / 70 = 0.02857… -> 2.857% (los decimales que nos interese conservar)

Cambiar de decimal a fracción es un poco más complicado si se desea ser exacto cuando los decimales son periódicos, por lo que no profundizaré en eso hoy. Sólo plantearé cómo se hace cuando se tiene una cantidad finita de decimales.

Si vemos el ejemplo de abajo, 54.2 por ciento se reescribe en decimal como 0.542, que se lee como quinientos cuarenta y dos milésimos, por lo que puede escribirse también como 542/1000 y, posteriormente, simplificarlo (ver más sobre amplificación y simplificación de fracciones aquí)

54.2% -> 0.542 = 542/1000 = 271/500

¿Qué cuidados es necesario tener con los porcentajes cuando se trata de intereses?

Cuando vamos a hacer operaciones con intereses, es necesario recordar que % equivale a multiplicar por 0.01, ya que los cálculos deben hacerse en decimales, NO con los números con el símbolo % al lado. Así, si la tasa de interés es 8%, en los cálculos usaremos 0.08 (OJO, evitar confundirse con dejar sólo el 8 o con usar 0.8).

Por ejemplo, si la tasa de interés 12 % anual simple e invertimos $20,000 por un año, ¿cuánto obtendremos de intereses más capital después de dejar el dinero un año en el banco?

La forma de calcular este interés es multiplicar el dinero invertido por la tasa de interés, expresada en decimales:

$20 000 x 0.12 = $2 400

Si sumamos los intereses más el capital, tendremos, al final del año, $22 400

También se puede obtener multiplicando $20 000 x 1.12 = 22 400. El 1 que se le suma al 0.12 hace que el resultado incluya tanto el capital inicial como los intereses.

¿Notaron la palabra “simple” en el planteamiento anterior?

Es muy importante distinguir cuando la tasa de interés es simple o compuesta, porque las fórmulas son muy distintas.

Esta entrada es sobre porcentajes, no sobre interés compuesto, sin embargo ambos temas están relacionados, por lo que pondré aquí un ejemplo sencillo de interés compuesto para que observen la diferencia:

Si la tasa de interés es 12% anual, compuesta mensualmente, e invertimos $20 000 ¿cuánto obtendremos de intereses después de dejar el dinero un año en el banco?

Una tasa de 12% anual compuesta mensualmente equivale a que cada mes obtengamos 1% de intereses, los cuales se sumen al capital durante el siguiente mes y así se vayan acumulando los intereses conforme avanza el tiempo.

Significa que al final del primer mes tendremos:

$20 000 x 1.01 = $20 200

Al final del segundo:

$20 200 x 1.01 = $20 402

Veamos la tabla completa a continuación:

La fórmula para calcular esto para cualquier cantidad de meses (o periodos) es:

Como verán, si la tasa de interés se compone mensualmente, al final del año se tendrá un monto mayor que si la tasa de interés es simple. Los montos finales, ya sea de ahorro obtenido o de deuda, según sea el caso, dependen de todos los elementos de la fórmula: el capital inicial, la tasa de interés y del número de periodos transcurridos.

Un dato curioso es que, por más seguido que se componga una tasa del 100%, el monto final no podrá ser mayor a 2.7183 veces el capital inicial. ¿Reconocen el número? Es el número de Euler, e, pueden ver más sobre él aquí.

¿Qué cuidados es necesario tener con los descuentos en cuanto a los porcentajes?

En las liquidaciones de las tiendas es común observar que ofrecen descuento sobre descuento, dando la impresión de que el descuento final es mayor del que realmente ofrecen.

Por ejemplo, un descuento del 30% más otro del 20% NO equivalen a un descuento del 50%, de la misma forma que un descuento del 60% más otro del 40% NO equivalen a un descuento del 100%, que sería llevarte el producto gratis.

Veamos cómo se calcula realmente:

Un pantalón que costaba originalmente $500, si se le aplica un descuento del 30% se pagaría por él $350. Si se acumula con un descuento del 20% adicional, se pagaría por él $280, bastante más que los $250 que se pagarían si el descuento fuera del 50%.

Veamos un poco más despacio cómo calcular lo que se pagaría:

El 30% de $500 es $500 x 0.3 = $150. Si a $500 le rebajamos $150 quedan $350 a pagar.
El 20% de $350 es $350 x 0.2 = $70. Si a $350 le quitamos $70 quedan $280 a pagar.

Una forma más rápida de hacerlo es considerar que, si el descuento es del 30%, lo que se pagará es el 70% del precio original (el complemento a 100 de 30):

El 70% de $500 es $350 y el 80% (complemento a 100 de 20) de $350 es $280.

Si dividimos los $220 que recibimos como descuento real entre los $500 que costaba el pantalón, descubriremos que el descuento real fue del 44%. 

Se puede llegar a ese dato también con los complementos a 100 de los descuentos: 0.7 x 0.8 = 0.56, su complemento es 0.44, o sea 44% de descuento. De la misma forma, un descuento de un 40% más un 60% equivale a un descuento del 76%, no a que el producto sea gratis. Interesante, ¿verdad?

¿Qué cuidados es necesario tener en la interpretación de los porcentajes?

Según el contexto, los porcentajes pueden interpretarse de diferente forma.

Si se dice que el 40% de los alumnos pasó el examen, significa que 40 de cada 100 pasó y 60 de cada 100 reprobó.

Sin embargo, si decimos que un pedido lleva un 40% de avance en su fabricación, puede ser que signifique que se han terminado 40 de cada 100 piezas que se deben de entregar y las otras 60 de cada 100 aún no se empiezan, o algo muy distinto, esto es, que cada una de las piezas ha pasado por el 40% de su proceso de fabricación (2 de 5 pasos o algo similar).

Y en un proyecto que implique una serie de pasos consecutivos, como la construcción de un edificio, el que se lleve un 75% de avance es poco probable que signifique que 75 de cada 100 pisos están completamente terminados y los otros 25 de cada 100 aún no se empiezan. Nuevamente, la interpretación adecuada es que, de cada 100 pasos o etapas de similar duración, que deben darse para terminar el edificio, se han dado 75.

Porcentajes de incremento y decremento

También es necesario tener cuidado al interpretar los incrementos y decrementos. Si las ventas se duplicaron, se multiplicaron por dos y si se redujeron a la mitad, se dividieron entre dos, es decir, usamos el dos en ambas expresiones.
Sin embargo, cuando las ventas se duplican se incrementan en un 100%, y cuando se reducen a la mitad, NO se reducen en 100%, sino en 50%. Aquí ya no podemos usar el mismo número en ambos sentidos.

Una reducción del 100% de una cantidad la lleva a cero, ya que se resta de sí misma, mientras que un incremento del 100% de una cantidad la lleva al doble, ya que se suma a sí misma.

Otro cuidado necesario se da con los “incrementos negativos”. Explicaré porqué en un momento.

Primero es necesario aclarar que los cambios porcentuales se calculan con base en el primer dato que tengamos, a no ser que nos indiquen otra base a usar.

Cuando se dice que la población pasó de 1 000 000 de personas a 1 200 000 y queremos averiguar cuál fue el incremento de la población, calculamos el incremento en personas, 200 000 y lo dividimos entre el dato base, 1 000 000, para llegar al porcentaje:

200 000 / 1 000 000 = 0.2  -> 20% de incremento de la población.

Si, por el contrario, la población pasó de 100 000  personas a 91 000 personas, calculamos el «incremento», que resulta negativo:  – 9 000, y lo dividimos, como siempre, entre el dato base:

-9 000 / 100 000 = – 0.09  -> – 9%

Se puede expresar de dos formas: hubo un incremento de -9% o hubo un decremento de 9%. Lo que debe evitarse es decir que hubo un decremento de -9%, porque eso realmente significa un incremento del 9%  (puede interpretarse como una doble negación).

Antes de cerrar

Un porcentaje que nos hace muy feliz es ver la batería de nuestros aparatos electrónicos llena o casi llena. Un porcentaje que no nos hace tan felices es ver que nuestro equipo está actualizándose y lleva un buen rato marcando 25% de avance. En general, los porcentajes están por todos lados en nuestra vida diaria, por lo que saber calcularlos bien e interpretarlos adecuadamente, es muy importante más allá de nuestra vida académica.

Mencioné al principio que hay cierto tipo de cálculos que pueden hacerse con el porcentaje expresado como tal, con todo y el %, como en 25%. Son aquellos casos en que el dato que vamos a obtener y alguno de los datos involucrados en el cálculo son porcentajes. Digamos que el símbolo % es como si fuera una unidad de medida (como cm o seg), si tenemos la expresión:

30 x 25 % / 15 = 50%

Es posible dejar el % en la primera parte de la expresión, siempre y cuando también lo dejemos en el resultado.

O, si se cambia el 25% por 0.25, se llegará a 0.50 en la respuesta, que deberá reescribirse posteriormente como 50% si ese es el formato adecuado para dar la respuesta.

Si la expresión implica dividir dos porcentajes, el resultado no debe llevar el símbolo %:

50 % / 25 % = 2

Se simplifica el símbolo % al momento de simplificar la expresión, por lo que ya no aparece en el resultado.

En este caso, el resultado al que se llega si se cambian las cantidades a decimales es el mismo:

0.50 / 0.25 = 2

El contexto del problema indicará si es indispensable o no el cambiar las cantidades expresadas como porcentajes a cantidades expresadas como decimales. Reconocerlo y actuar en consecuencia ayuda a desarrollar el pensamiento lógico (ver más aquí y aquí) y el sentido numérico (ver más aquí y aquí).

¿Qué porcentaje de entradas de este blog han tenido, de una forma u otra, una referencia a algo dulce a lo largo del texto? Buena pregunta, ya van 24 y en la mayoría he tratado de integrar algo así. El dato exacto no lo tengo, necesitaría abrir una por una y revisarlas. Pero sí les puedo decir que, entre las referencias a algo dulce, el mayor porcentaje se lo llevan los brownies, que es mi postre favorito. ¿Cuál es el suyo?

Confío en que las ideas que comparto en este blog lleguen cada vez a más personas, para que la relación de niños y jóvenes con las matemáticas mejore cada vez más y puedan elegir a que se dedicarán más libremente, sin alejarse de los números por no entenderlos. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y/o si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/ http://webresizer.com/

Algunos datos los obtuve de wikipedia.

Hice algunas imágenes en Word y Excel.