Al darme cuenta de que ésta sería la entrada número 55 del blog me puse a recordar cuál sería la probabilidad de que un número de dos cifras fuera capicúa (ver más sobre capicúas aquí) y decidí dedicar esta entrada a ese tema de las matemáticas que es muy probable que lo necesitemos más de alguna vez en la vida: la probabilidad. Por cierto: ¿cuál es la probabilidad de sacar al azar un osito de gomita rojo de una bolsa donde hay 30 ositos de cada uno de los cinco colores?

Este tema puede revisarse con diferentes grados de complejidad. Sólo veremos aquello que queda dentro del alcance de este blog, y lo aderezaremos con algunas curiosidades. Se dividirá en dos entradas dado que, aún al nivel sencillo que manejaré, hay mucho sobre lo cual escribir.

Con lo que veremos hoy trabajaremos el sentido numérico en los cálculos (ver más aquí y aquí) y fortaleceremos el pensamiento lógico (ver más aquí y aquí), porque es muy probable que algunas de las afirmaciones que se hacen en probabilidad sean contra-intuitivas. Sigan leyendo para conocer cuáles.

Algunos conceptos que conviene conocer

Del Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española

Aleatorio: que depende del azar

Azar: casualidad, caso fortuito

Casualidad: combinación de circunstancias que no se pueden prevenir ni evitar

Contingente: que puede suceder o no suceder

Eventual: sujeto a cualquier evento o contingencia

Evento: algo que sucede

Fortuito: que sucede inopinada y casualmente

Inopinado: que sucede sin haber pensado en ello, sin esperarlo

Todos los conceptos anteriores están muy relacionadas entre sí y con el tema de hoy, en el que revisaremos eventos que están sujetos de una forma u otra al azar.

Ahora veamos la diferencia entre posible y probable:

Posible: que puede ser o suceder

Probable: que hay razones para creer que sucederá y puede estimarse qué tan factible es que suceda.

Algo es o no posible, sin grados. En cambio algo puede ser más o menos probable.

Para que algo sea probable, primero debe ser posible:

Sin comprar un boleto de una rifa no es posible (ni, por tanto, probable) ganarla. Ya con el boleto comprado, es posible ganarla, aunque la probabilidad es muy pequeñita. Si se emitieron 1000 boletos, la probabilidad de ganar la rifa es de 1/1000, como veremos en la siguiente sección

¿Qué es probabilidad en matemáticas?

La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un evento futuro. Suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %).

Si algo no ocurrirá con seguridad, su probabilidad de ocurrir es del 0% (se le llama improbable) y si algo sí ocurrirá con seguridad, su probabilidad de ocurrir es del 100% (se le llama seguro).

Cualquier situación que no sea improbable o segura tendrá una probabilidad que estará entre esos valores. Mientras más cercano a 0% será menos probable que ocurra, mientras más cercano al 100% será más probable que ocurra.

Es importante tener en mente esta información para evaluar si son lógicos los resultados que obtengamos y dudar de cualquier número fuera de ese rango: es 100% probable que cometimos un error en alguna parte del proceso de cálculo o estimación de datos si obtenemos una probabilidad mayor a 100% o menor a 0%. O mayor a 1 o menor a 0, según la forma en que esté expresada.

Ver más sobre porcentajes aquí, sobre entender fracciones aquí, sobre simplificar y amplificar fracciones aquí, sobre operaciones con fracciones aquí y sobre decimales aquí. Todo lo necesitaremos en esta entrada y la siguiente.

¿Cómo se calcula la probabilidad de que ocurra algo?

Existen diferentes formas, dependiendo de cuánta información se tenga sobre lo que se va a calcular.

La probabilidad teórica se calcula como número de eventos (casos) favorables entre número de eventos (casos) posibles. 

Veremos un caso en el que se tiene toda la información necesaria para calcular de forma «exacta» la probabilidad de un evento.

Pensemos en una moneda simétrica, bien equilibrada. Tiene dos lados, frecuentemente llamados cara y cruz, al menos en México ¿Cómo se dice en otros países?. Suponiendo que la moneda siempre cae con un lado hacia arriba (sí, he visto caer monedas de canto, pero por hoy no consideremos esa opción para que no complique los cálculos), la probabilidad de que al lanzar la moneda al aire caiga con la cara hacia arriba se obtiene dividiendo el número de caras de la moneda (1) entre el número de lados de la moneda (2): 1/2

Expresada en decimales entre 0 y 1, la probabilidad es de 0.5 y expresada en porcentaje es del 50%. Cara y cruz al lanzar una moneda se consideran eventos equiprobables, pues la probabilidad de ambas opciones es la misma.

Y es una probabilidad que no se ve alterada por los resultados anteriores, siempre y cuando la moneda esté equilibrada. Es decir, si llevamos 5 lanzamientos y en todos ha salido cara, la probabilidad de que salga cara en el sexto lanzamiento sigue siendo del 50%, aunque se pueda pensar que hay algo sospechoso en la moneda. Puede, por ejemplo, estar bien equilibrada, pero ¡tener dos caras y ninguna cruz!

Cuando no se conoce con exactitud el número de eventos favorables y/o el número de eventos posibles lo que podemos hacer es estimar la probabilidad, por medio de la probabilidad frecuencial, por ejemplo.

La probabilidad frecuencial es igual al número de aciertos entre el número de experimentos.

¿Y cuándo hay distintas cantidades de cada resultado posible?

Si se tiene una bolsa con canicas blancas y negras, la probabilidad de sacar una canica blanca al azar (sin ver) dependerá de cuántas canicas blancas y cuántas canicas totales haya. Si hay 40 blancas y 60 negras (100 canicas en total):

La probabilidad de sacar una canica blanca es de 40/100 = 2/5
La probabilidad de sacar una canica negra es de 60/100 = 3/5

Noten que, dado que no existe otro color de canicas, la suma de ambas probabilidades es 2/5 + 3/5 = 1

Se puede expresar que la probabilidad de sacar una canica blanca o negra es del 100% (dado que no hay otro color de canicas). Sobre el cálculo de las probabilidades combinadas, como ésta, escribiré más la siguiente entrada.

¿Por qué el 7 es “el número de la suerte”?

Existen distintas razones para considerarlo el número de la suerte. Aquí veremos la que tiene relación con las probabilidades y los dados.

En un dado bien equilibrado, la probabilidad de que cada una de las caras caiga hacia arriba es la misma: 1 cara / 6 caras totales = 1/6

Si se tiran dos dados y no se toma en cuenta cuál dado cayó con cuál número, sino sólo la suma de puntos en los dos dados, las diferentes combinaciones que pueden obtenerse son las siguientes:

Hay 36 combinaciones posibles, por lo que los números con las probabilidades más pequeñas son el 2 y el 12, con probabilidades de 1/36 cada uno. Y el número con la probabilidad mayor es el 7, con 6/36 (simplificado 1/6). Eso lo hace el “número de la suerte”, porque es el que deberá caer más veces si se tiran los dos dados muchas veces seguidas.

Nota: al dejar las probabilidades en fracción, es fácil leerlas e interpretarlas así: 1 de cada 6 veces que se tiren un par de dados se obtendrá un 7 como resultado.

Recuerden que es conveniente buscar aprendizajes eficientes (ver más aquí), en los que con un mismo planteamiento o inicio de actividad se realicen distintos análisis.

Por ejemplo, si ya tenemos la tabla con los posibles resultados de los lanzamientos de los dados, estas pueden ser otras preguntas:

1) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número non?
2) ¿Cuál es la probabilidad de obtener números iguales en ambos dados?
3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor a 6?

Respuestas: (Las pueden comprobar contando las opciones que cumplen con lo pedido y dividiendo entre las opciones totales, que son 36 siempre)

1) 18/36 = 1/2

Y, por lo tanto, la probabilidad de obtener un número par es también 1/2 (hay 18 números nones y 18 números pares entre todas las opciones de números al tirar dos dados)

2) 6/36 = 1/6

También puede entenderse como la probabilidad de que el segundo dado caiga en el mismo número que ya cayó el primero. Explicaré más sobre probabilidades condicionadas en la siguiente entrada.

3) 10/36 = 5/18

¿Y la probabilidad de obtener un número mayor a 6?

¡Tengan cuidado! no es 26/36 (lo que falta para 1), esa es la probabilidad de obtener un número mayor o igual a 6 (ver más sobre desigualdades aquí).

La probabilidad de obtener un número mayor a 6 es 21/36 = 7/12

Escribiré más sobre probabilidades complementarias en la siguiente entrada.

A propósito de dados, de los que se han encontrado antecesores de hace unos 5000 años, al buscar imágenes para ilustrar esta sección me di cuenta de que algunas personas se tomaron ciertas libertades creativas al dibujarlos.

Un dado que se respete debe tener los números que suman 7 en caras opuestas: 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4. Y las caras van en el orden que se ve en esta imagen.

No recomiendo usar a esos lindos insectos punteados para sustituir a los dados de un juego de mesa. O salen volando o siempre va a obtenerse el mismo número cuando se posen en la mesa.

El principio del palomar

Al principio del palomar también se le puede encontrar como principio de las cajas o de Dirichlet.

Dice así: n palomas se distribuyen en m palomares, si n es mayor que m (n>m), habrá al menos un palomar con más de una paloma.

Se puede entender de esta otra forma: m cajas pueden contener máximo m objetos si se desea que cada objeto esté en una caja distinta.

Parece muy obvio ese principio, ¿verdad? pero nos puede ayudar para contestar a preguntas como ésta:

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 13 personas todas hayan nacido en diferente mes?

La probabilidad es de 0%, porque sólo hay 12 meses y hay 13 personas. No hay forma de repartir a las 13 personas (palomas) en 12 meses (palomares) sin que se repita algún mes (palomar).

Calcular la probabilidad de que 11, incluso 12 personas hayan nacido todas en diferente mes es mucho más complejo (lo veremos en la siguiente entrada). Por eso es simpático el principio del palomar. Usando el pensamiento lógico y principios como ese podemos ahorrarnos un montón de cálculos y decir: eso no es posible, su probabilidad es del 0%.

Veamos esta otra pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que dos personas de una ciudad de 500 000 habitantes tengan la misma cantidad de cabellos en sus cabezas?

Primero es necesario saber que una cabeza puede contener aproximadamente 150 000 cabellos. Por tanto, si tenemos una persona con cero cabellos, una con uno, una con dos y así sucesivamente, al llegar a la persona 150 001 ya tendremos cubiertas todas las opciones de cantidad de cabello por persona (palomares y palomas) y la siguiente tendrá forzosamente qué tener la misma cantidad de cabello que alguna de las primeras 150 001.

De hecho, como 500 000 es más del triple de 150 000, realmente se puede esperar que al menos 3 personas tengan exactamente la misma cantidad de cabello ¿Ven por qué? Al llegar a la persona 300 000 todavía nos sobran personas y ya se nos acabaron las cantidades de cabello diferentes disponibles con 2 personas.

¿Quiénes son? Eso no puede saberse sin contarle el cabello a todo el mundo, con el riesgo de que, si son como yo, cuando acabemos de contar se les hayan caído una cantidad indeterminada de cabellos a todos los ciudadanos y…

Lo acepto, no es información de vida o muerte, pero entenderla ayuda a desarrollar el pensamiento lógico y a sorprender a más de algún interlocutor con nuestras preguntas (y sus respuestas).

Para cerrar

Cierto, en el inicio mencioné la probabilidad de que un número de 2 dígitos fuera capicúa. Si empezamos con el 00 y terminamos con el 99, son 10 número capicúa (todos múltiplos de 11, por cierto) y 100 números en total, por lo tanto, la probabilidad buscada es 10/100 = 1/10. Uno de cada diez números de dos dígitos, si se empieza con 00, son capicúas. Ésta es la quinta entrada con número capicúa (11, 22, 33, 44, 55) dentro de 11 entradas será la siguiente.

Ah, y sobre los ositos de gomita. Si hay 30 de cada uno de los cinco colores, la probabilidad de sacar un osito rojo es de 30/150 = 1/5.

De hecho, si siempre hay la misma cantidad de ositos de cada uno de los 5 colores, el cálculo de la probabilidad se puede hacer directo a partir de los 5 colores: La probabilidad de sacar un osito de un color dado es 1/5.

Como siempre, gracias por leer y por compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Es más probable que escriba sobre algún tema que les interese o les sirva si me lo hacen saber a través de un comentario o un mensaje a través de la sección «Contacto». ¡Los espero!

Gracias Brenda por sugerirme escribir sobre este tema tan interesante y por todo tu apoyo en esta aventura con el blog.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Tomé algunas ideas del Libro de las Matemáticas, de Cliford A Pickover como inspiración para escribir esta entrada.