Ésta es la entrada 70 del blog. La dedicaremos a un tema que, si nos detenemos a pensar, puede resultar mucho más importante de lo que parece: las estimaciones en matemáticas.

Al resolver cierto tipo de problemas del día a día, un resultado estimado puede ser tanto o más útil que un resultado exacto. Si vamos a comprar pintura para recubrir una pared, saber que necesitamos 5.158 litros para cubrirla puede ser un dato exacto que no es realmente útil, pues en la tienda no nos venderán esa cantidad exactamente, además de que el rendimiento de la pintura es aproximado, por lo que en la realidad es suficiente con estimar que al comprar 5.25 litros (cinco litros más un cuarto de litro) podemos considerar que nos va a alcanzar.

Con la ubicuidad de las calculadoras, pareciera innecesario desarrollar una capacidad de estimar. Sin embargo, si bien las calculadoras no se equivocan al realizar los cálculos que introducimos en ellas, si los introducimos mal, el resultado obtenido será incorrecto debido a ello, no a un error interno. Tener una idea previa de más o menos alrededor de qué número podemos esperar la respuesta nos ayudará a saber si el resultado pudiera ser correcto o más bien luce como un sinsentido.

Gracias, Érika, por la idea para esta entrada. Espero que te resulte útil, tanto para corroborar la utilidad de las estimaciones, como para adquirir estrategias para aprender y enseñar a hacerlas. 

Algunas definiciones

Para el diccionario de la Real Academia Española (RAE), estimar es «calcular o determinar el valor de algo». También es, entre otras cosas, «creer o considerar algo a partir de los datos que se tienen».

Vaya, parece que no se incluye el concepto de “aproximado” en la definición. Sin embargo, la estimación en matemáticas sí tiene ese componente de aproximación.

Buscando una definición de estimación en matemáticas, me encontré ésta que me parece útil: “juicio sobre el valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de circunstancias individuales del que lo emite”

Segovia, I.; Castro, E.; Castro, E. y Rico, L. (1989). Estimación en cálculo y medida. Madrid: Síntesis.

Esto es, al estimar, las circunstancias en las que hacemos el cálculo afectan el qué tan cercano consideramos que está de la realidad. Exploremos más este interesante concepto.

¿Cuántos tipos de estimaciones matemáticas hay?

Se puede estimar el resultado de una operación, una cantidad, una medida, un dato desconocido…

En el primer caso, se conocen los datos exactos pero se usan datos menos exactos y más fáciles de manejar (regularmente de forma mental) al hacer los cálculos (será de lo que hablaremos hoy).

En el segundo, se infiere la cantidad de objetos que se observan, sin contarlos uno por uno. Se puede hacer contando una pequeña parte de los objetos y después estimando cuántas veces esa cantidad habrá en total, como en estos frascos con dulces.

En el tercer caso, se conjetura la medida de un objeto sin usar algún instrumento propio para medir de forma exacta. Como cuando se estima una distancia contando los pasos que nos lleva recorrerla.

En el último caso, se hacen cálculos a partir de datos incompletos, inexactos, inciertos o cambiantes (esto se revisa en la materia de Estadística y tiene una gran cantidad de aplicaciones, pero no lo veremos en esta ocasión).

En todos los casos se espera que el resultado estimado sea razonablemente cercano al real.

¿Conocen algún otro caso?

¿Cómo se indica que un resultado es estimado?

Cuando se expresa un resultado estimado, se usa el símbolo de “aproximado”, que es como un igual, pero con líneas onduladas: ≈

¿Para qué sirve estimar?

Entre otras cosas, estimar sirve para hacer cálculos razonablemente útiles más rápidamente, incluso con la mente. También para tomar decisiones a partir de valores aproximados, para apoyarnos al hacer una división a mano y decidir cada dígito del cociente, y, muy importante, como apoyo para verificar el resultado de un cálculo exacto (al menos el orden de magnitud del mismo, es decir, si el resultado estará alrededor de 1, 10, 100, etc.).

Ante la hoja en blanco para escribir sobre este tema, pensé que sólo sería necesario escribir:

Al estimar: redondea, calcula, terminaste.

Una entrada con tan pocas palabras no tendría mucho sentido, y menos para el estilo de este blog, que busca abarcar una cantidad importante de detalles y “por qué” de los temas tratados, así que veamos algunas ideas más alrededor del tema, empezando por entender lo que significa redondear y su diferencia con truncar.

Redondear y truncar

Para la RAE, redondear es prescindir, en cantidades, de pequeñas diferencias en más o en menos, para tener en cuenta solamente unidades de orden superior. En matemáticas esto es, por ejemplo, dejar un número del 1 al 100 expresado solamente en decenas “completas” (0,10, 20, 30…).

Se acostumbra redondear 0, 1, 2, 3, 4 hacia abajo y 5, 6, 7, 8, 9 hacia arriba, ya que es la manera más conveniente de separar los 10 dígitos en 2 grupos iguales, uno en el que se redondea hacia abajo y otro en el que se redondea hacia arriba.

Lo común es redondear la parte decimal de un número, para que se vea más corto y se maneje más fácilmente. Se suele indicar hasta qué posición se redondeará:

1.357 redondeado a las décimas es 1.4

También se puede redondear la parte entera (sólo que debemos poner los ceros necesarios para que el número siga teniendo el mismo orden de magnitud). En este caso, no se ve más corto, pero sí se maneja más fácilmente:

1357 redondeado a las centenas es 1400

En cambio truncar, también para la RAE, es cortar una parte a algo. En matemáticas sólo suele cortarse la parte decimal, dejando el último dígito tal como estaba, sin importar cuál era el dígito siguiente:

1.357 truncado a las décimas es 1.3

Cuando se truncan números enteros debe cambiarse la expresión:

1357 unidades truncado a las centenas es 13 centenas

Cuando la primera cifra que se va a redondear o truncar es 0, 1, 2, 3, o 4 ambos procesos llevan al mismo número:

1.357 redondeado a las unidades es 1
1.357 truncado a las unidades es 1

Es más común redondear que truncar y es lo conveniente para este tema de las estimaciones. Sin embargo el truncado es necesario para resolver ciertos problemas, como cuando se requiere saber cuántas jarras completas de 2 litros se pueden llenar con 15.5 litros. El resultado de la división es 7.75, pero la respuesta debe ser 7 jarras completas, sin importar que 7.75 esté más cerca de 8 que de 7.

¿Cómo se hace una estimación en las operaciones básicas?

Se redondean los números tanto como se desee y después se realiza el cálculo solicitado.

Para sumas de números hasta 100: conviene redondear a la decena más cercana.

Para sumas de números hasta 1000: conviene redondear a la centena más cercana y así sucesivamente.

El grado de exactitud también dependerá de si se redondea sólo una cifra o todas las cifras posibles antes de la última.

Algunas ventajas y estrategias al estimar

Al estimar, según el nivel de redondeo que empleemos, las transformaciones al sumar y restar (ver más aquí), multiplicar (ver más aquí) y dividir (ver más aquí) serán menos necesarias. Y si sólo dejamos una cifra diferente de cero, simplificamos al máximo la realización de la operación

Ejemplos:

11
357+
589=
946

1
360+
590=
950

400+
600=
1000

A mayor número de cifras redondeadas se da más facilidad de cálculo pero se pierde exactitud.

Por otro lado, si se van a multiplicar y/o dividir varios números, se pueden redondear expresándolos como 1 dígito multiplicado por una potencia de 10, con lo cual el cálculo se vuelve muy sencillo, dadas las propiedades de nuestro sistema numérico decimal (ver más aquí) y las leyes de los exponentes (ver más aquí y aquí).

1 345 • 27 538 • 63 ÷ 873 ≈

(1 • 10^3) • (3 • 10^4) • (6 • 10^1) ÷ (9 • 10^2) =

(1 • 3 • 6÷9) • 10^(3+4+1-2) = 2 • 10^6 = 2 000 000

La respuesta exacta sería: 2 672 889

Vaya, aquí sí se perdió mucha exactitud, al haberse redondeado cuatro cantidades (cuatro pérdidas de exactitud acumuladas), aunque el orden de la magnitud se mantiene: ambas respuestas están en los millones.

¿Puedo saber de antemano qué tan cerca de lo real estará una estimación?

Con la práctica podemos ir reconociendo qué tanta exactitud perderemos. Por ejemplo, las estimaciones pueden estar más cerca de lo real si los números redondeados son muy cercanos a los originales y, además:

En la suma: una de las cantidades se redondeó hacia arriba y la otra hacia abajo.

En la resta: ambas cantidades se redondearon hacia arriba o ambas hacia abajo.

En la multiplicación: una de las cantidades se redondeó hacia arriba y la otra hacia abajo.

En la división: ambas cantidades se redondearon hacia arriba o ambas hacia abajo.

¿Notan el patrón? En las operaciones “de ida” (suma y multiplicación) la condición es una y en las operaciones “de vuelta” (resta y división) la condición es otra.

En el caso de las sumas y restas, el redondeo de un número puede “anular” el efecto «distorsionador» del redondeo del otro (se le suele llamar constancia de la suma y la resta):

38 + 52 = 40 + 50 = 90 (igual al real)
38 – 18 = 40 – 20 = 20 (igual al real)

En el caso de las multiplicaciones y divisiones es menos natural que esto ocurra, pues el redondeo implica sumar o restar y la constancia de la multiplicación y la división implican multiplicar y dividir:

38 • 52 ≈ 40 • 50 = 2000 (Real 1976)
38÷18 ≈ 40 ÷20 = 2 (Real 2.111)

Revisando todas las combinaciones de redondeos de los números del 11 al 99, encontré unas cuantas en las que el resultado estimado es igual al real, las presento en el siguiente apartado.

¿Qué tan diferente del resultado real puede llegar a ser una estimación?

Considero que los casos más extremo al redondear con números entre 10 y 99 son estos:

Sumas

Si para sumar 15 + 15  seguimos la regla para el redondeo y lo estimamos como 20 + 20 = 40, la diferencia al comparar contra el resultado real, 30, será de un 33.3% de exceso (ver más sobre porcentajes aquí).

Esa diferencia, en porcentaje, va disminuyendo conforme la cifra de las decenas aumente, pues la proporción de la cantidad agregada contra la cantidad original disminuye: si 95 + 95 se estima como 100 + 100 = 200, la diferencia al comparar contra 190 que es lo real, es sólo el 5.26% excedente.

Como mencionamos antes, también podemos obtener un resultado “estimado” que sea igual al real, si al redondear una cantidad hacia arriba y la otra hacia abajo quitamos y ponemos la misma cantidad:

18 + 12 = 20 + 10 = 30

La suma permanece constante si a un sumando se le resta/suma lo mismo que se le suma/resta al otro.

Restas

Si para restar 15 – 14 lo estimamos como 20 – 10 = 10, la diferencia contra el resultado real, 1, sería ¡900%! de exceso. Como verán, es importante que no demos “recetas de cocina” que se deban seguir sin pensar, porque dependiendo del caso es el grado de cercanía de la estimación y el valor real.

Como también mencionamos antes, podemos obtener un resultado “estimado” que sea igual al real, si al redondear ambas cantidades hacia arriba o hacia abajo, quitamos o agregamos la misma cantidad:

38 – 18 = 40 – 20 = 20

Multiplicaciones

Si para multiplicar 15 • 15 lo estimamos como 20 * 20 = 400, la diferencia al comparar contra el resultado real, 225, será de un 77.8% de exceso.

Nuevamente el porcentaje de exceso va variando conforme las decenas aumentan. Al estimar 195 • 195 como 200 • 200 = 40 000, la diferencia contra el real, 38 025 es de 5.2% de excedente.

Hice en una tabla de Excel todos los cálculos de las multiplicaciones de números entre 11 y 99, redondeados y no redondeados, para compararlos. Las únicas combinaciones para las que se obtiene el mismo resultado con los datos originales y con los redondeados (sin contar los números que de origen ya terminaban en cero) son estas cuatro, y las correspondientes a la ley conmutativa.

25 • 12 = 30 • 10 = 300
25 • 24 = 30 • 20 = 600
75 • 32 = 80 • 30 = 2400
75 • 64 = 80 • 60 = 4800

Notarán que en todos los casos uno de los números se redondeó hacia arriba y el otro hacia abajo. Si descomponemos los números en factores, puede verse, por ejemplo, que en todos los casos el primer número tiene dos factores 5, que se reparten entre los dos números una vez que se redondea:

5 • 5 • 2 • 2 • 3 = 2 • 3 • 5 • 2 • 5 = 300

5 • 5 • 2 • 2 • 2 • 3 = 2 • 3 • 5 • 2 • 2 • 5 = 600

3 • 5 • 5 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 2 • 3 • 5 = 2400

3 • 5 • 5 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 2 • 2 • 3 • 5 = 2400

Divisiones

Similar a la situación con la resta, considero que el caso más extremo se daría si 15 / 14 lo estimamos como 20 / 10 = 2. El valor estimado es 86% mayor que el valor real, 1.071.

Haciendo una tabla comparativa, encontré, además de todas las divisiones de un número entre sí mismo, varios casos en los que el redondeo no afecta la exactitud de la respuesta. Escribiré todas las opciones con el número menor como dividendo (11 / 22 = 10 / 20 = 1 / 2), pero también se mantiene la exactitud si el número menor es el divisor ( 22 / 11 = 20 / 10 = 2).

¿Notan los patrones? Los comento al final de la lista, para que la revisen primero y traten de detectarlos. ¡Son 40 casos!:

11 / 22 = 10 / 20 = 1 / 2
11 / 33 = 10 / 30 = 1 / 3
11 / 44 = 10 / 40 = 1 / 4
12 / 24 = 10 / 20 = 1 / 2
18 / 27 = 20 / 30 = 2 / 3
18 / 36 = 20 / 40 = 1 / 2
18 / 45 = 20 / 50 = 2 / 5
19 / 38 = 20 / 40 = 1 / 2
19 / 57 = 20 / 60 = 1 / 3
19 / 76 = 20 / 80 = 1 / 4
19 / 95 = 20 / 100 = 1 / 5
21 / 42 = 20 / 40 = 1 / 2
21 / 63 = 20 / 60 = 1 / 3
21 / 84 = 20 / 80 = 1 / 4
22 / 33 = 20 / 30 = 2 / 3
22 / 44 = 20 / 40 = 1 / 2
27 / 36 = 30 / 40 = 3 / 4
27 / 45 = 30 / 50 = 3 / 5
28 / 56 = 30 / 60 = 1 / 2
29 / 58 = 30 / 60 = 1 / 2
29 / 87 = 30 / 90 = 1 / 3
31 / 62 = 30 / 60 = 1 / 2
31 / 93 = 30 / 90 = 1 / 3
32 / 64 = 30 / 60 = 1 / 2
36 / 45 = 40 / 50 = 4 / 5
38 / 57 = 40 / 60 = 2 / 3
38 / 76 = 40 / 80 = 1 / 2
38 / 95 = 40 / 100 = 2 / 5
39 / 78 = 40 / 80 = 1 / 2
41 / 82 = 40 / 80 = 1 / 2
42 / 63 = 40 / 60 = 2 / 3
42 / 84 = 40 / 80 = 1 / 2
48 / 96 = 50 / 100 = 1 / 2
49 / 98 = 50 / 100 = 1 / 2
57 / 76 = 60 / 80 = 3 / 4
57 / 95 = 60 / 100 = 3 / 5
58 / 87 = 60 / 90 = 2 / 3
62 / 93 = 60 / 90 = 2 / 3
63 / 84 = 60 / 80 = 3 / 4
76 / 95 = 80 / 100 = 4 / 5

El patrón que yo observo es éste: las divisiones cuyos resultados sin y con redondeo son idénticos implican números que se redondearon ambos hacia arriba o ambos hacia abajo y que, además, tienen un múltiplo común, que si se escribiera la división como fracción se simplificaría, dejando factores en dividendo y divisor que son o idénticos o múltiplos o divisores de los factores en dividendo y divisor que multiplican al 10 que siempre estará ahí en los números redondeados, justamente por el redondeo.

Por ejemplo, en el último caso, 76 / 95, se puede dividir entre 19 en numerador y denominador para simplificar la expresión como 4/5. Coincide que ambos números, al redondearse hacia arriba, llevan a otra combinación de números que terminan en cero ambos y que también se simplifica como 4/5, esto es 80/100.

¿Observan ustedes algún otro patrón?

Estrategia útil al multiplicar y dividir por un número terminado en 5 (para 4 y 6 también funciona para estimar).

Al usarla para el 5, esta estrategia no sirve propiamente para estimar, sino para facilitar los cálculos exactos:

Si se va a multiplicar 90 • 15, por ejemplo, si recordamos que 15 = 30 / 2, entonces se puede multiplicar así, reacomodando los cálculos para que sean más sencillos de hacer, incluso mentalmente. Se puede entender como que el 15 se multiplicó por 2 / 2 y se reescribió como 30 / 2.

90 • (30 / 2) = (90 • 30) / 2 = 2700 / 2 = 1350

Veamos otro ejemplo:

42 • 35 = 42 • (70 / 2) = (42 • 70) /2 = 2940 / 2 = 1470

La operación anterior la podemos hacer combinando esta estrategia con el redondeo, logrando un resultado muy cercano al real:

42 • 35 ≈ 40 • (70 / 2) ≈ 2800/2 = 1400

Vamos cómo sería el resultado usando el redondeo para ambos números:

42 • 35 ≈ 40 • 40 = 1600

¿Observan cómo resulta menos cercano?

Podemos ver que resulta útil usar esta estrategia de multiplicar uno o ambos factores (que terminan en 4, 5 o 6 ) por 2 / 2 , unida a la forma tradicional de estimar sólo redondeando, en el siguiente ejemplo:

Real: 14 * 16 = 224

Aproximados:

14 • 16 ≈ 10 • 20 = 200 (sólo redondear)

14 • 16 = (28 / 2) • (32 / 2 ) ≈ 30 / 2 • 30 / 2 = 900 / 4 = 225 (primero multiplicar ambos por 2 / 2 y después redondear y calcular, mucho más cercano al real)

Si, por el contrario, se va a dividir 90 / 15, se puede hacer, recordando que dividir entre 15 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir entre 30 y que se pueden reorganizar las operaciones:

90 / 15 = 90 • ( 2 / 30 ) = (90 / 30) • 2 = 3 • 2 = 6

Esta estrategia puede ser útil al estimar los dígitos del cociente de una división entre números de dos dígitos que terminen en 4, 5, 6:

Por ejemplo, si se va a dividir 4769 entre 14, se puede estimar el primer dígito así:

47 / 15 = 47 • 2 / 30 = 94 / 30 toca a 3

Estimación con fracciones

Para estimaciones de operaciones con fracciones, conviene dominar todos los conceptos relacionados con ellas y sus cálculos exactos (ver más aquí, aquí y aquí).

Considero que la manera más sencilla de trabajar estimando operaciones con fracciones es redondear el valor de la fracción escrito como decimal, sin embargo, el riesgo de perder mucha exactitud es muy grande, porque las fracciones suelen representar números pequeños y ya vimos que las estimaciones fallan más cuando los números son pequeños.

Por ejemplo, si se multiplica 1/2 • 1/2 redondeados a 1 • 1, la respuesta redondeada es 1 y la real es 1/4, por lo que ocurre una sobreestimación del 300%.

Y si se multiplica 17/12 • 17/12 redondeados a 1 • 1, la respuesta redondeada es 1 y la real es 289/144, por lo que ocurre una subestimación del 50%.

Por tanto, considero que en fracciones es mejor sólo hacer estimaciones si el valor redondeado está realmente muy cercano al real.

Para cerrar

Cuando Érika me sugirió este tema pensé: creo que es un tema que da para tres palabras: “redondea y calcula”, porque me parece que eso es lo que solemos tener en mente cuando pensamos en estimar. Sin embargo, estimar adecuadamente, para que el resultado sea realmente útil, implica una comprensión completa de las implicaciones al hacerlo (¿qué pasa si redondeo hacia arriba, hacia abajo, si trunco, si multiplico por 2/2?)

Al pensar en ideas para esta entrada me acordé de un chiste y una adivinanza que aprendí cuando era niña:

Primero la adivinanza, vean la respuesta más adelante:

¿Aproximadamente en qué vuelta se echa un perro cuando se prepara para dormir?

Ahora el chiste:

-Capitán, informo que el batallón enemigo está formado por 1003 soldados.
-¿Cómo sabe ese número tan exacto, cabo?
-Es que vienen 3 adelante ¡y como mil atrás!

Ahora la solución a la adivinanza:

El perro se echa a dormir exactamente después de la última vuelta que se da.

Como quizá habrán deducido, estimar de forma útil puede requerir pensar un poquito más que calcular exacto, así que es un buen ejercicio mental y una habilidad que conviene que desarrollemos en nuestros hijos y alumnos, que les ayudará tanto a trabajar con su sentido numérico (ver más aquí y aquí) como con su pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí).

Resulta un poco irónico que esta entrada se publicaría originalmente siendo la 69 y acabó publicándose como la 70, un número redondeado. Cosas de la vida.

Como siempre, gracias a todos por leer y por ayudarme a compartir el mensaje. Espero sus sugerencias de temas para escribir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

La imagen de la portada es de Imagen de martinez, para Pixabay  ver aquí.