Esta entrada me la sugirió Marifer Calva hace unas semanas (gracias por ello, Marifer). La idea central es comprender el proceso de la extracción de la raíz cuadrada de un número, sólo que para ello conviene comprender antes qué es un número irracional. Veremos también cómo usar los patrones que observamos, en los cuadrados de los primeros 10 números, para deducir raíces cuadradas exactas de números hasta 10 000.
Antes de empezar, quiero mencionar algo: navegando por la red escuché a un profesor decir en un video algo así: “Este procedimiento es de esos que le gustan a la gente porque son sencillos de seguir y funcionan bien, aunque no se entiendan”.

Dejé de pensar en raíces cuadradas para pensar en eso, con un poco de preocupación. Me gustaría que la gente prefiriera entender. Creo que se disfruta mucho más lo que se entiende (para eso escribo este blog). A la vez comprendo que haya personas cuyos intereses estén muy lejanos a las matemáticas, pero que necesitan pasar la materia y, por tanto, se sienten bien trabajando con procedimientos “sin sentido” pero que son fáciles de seguir. Considero que los profesores podemos marcar una gran diferencia en los alumnos si los guiamos a entender los procesos, para que dejen de replicarlos sin comprenderlos y los aprovechen y disfruten más.

De hecho, yo misma al escribir las entradas incluyo pequeñas secciones con explicaciones de los procedimientos que no espero que todo el mundo lea, pero que están ahí para aquellos que tienen la curiosidad de entender los porqué. Confío en que, haciéndolo así, lo que escribo sea útil para mejorar la relación con las matemáticas tanto de quien sólo quiere aprender los procedimientos como de quien quiere entenderlos.

Esta entrada va a contener una de esas pequeñas secciones que pueden no leerse si parecen muy complejas: la explicación de por qué un paso al sacar una raíz cuadrada implica duplicar el número que llevamos calculado. Siempre me lo había preguntado y no encontré ninguna explicación en todo lo que estuve indagando para escribir este texto. Lo entendí cuando vi un proceso paso a paso de la raíz cúbica (que no es una zanahoria picada en cubitos). Lo encontrarán más adelante.

Cerremos este paréntesis y entremos en el tema.

Las operaciones básicas y las operaciones inversas correspondientes

Esta entrada debería de comenzar por mencionar los diferentes conjuntos de números que existen. Sin embargo, para entender mejor la diferencia entre los elementos de cada conjunto, es necesario primero recordar las operaciones matemáticas básicas y sus inversas:

Suma – resta
a + b = c implica que c – b = a  y que  c – a = b

Multiplicación – división
a ⋅ b = c implica que c / b = a y que c / a = b

Potencia – Raíz / logaritmo
Como verán, para la suma y la multiplicación existe una única operación inversa con la cual se pueden obtener los dos datos iniciales.

Sin embargo, para la potenciación, existen dos operaciones inversas distintas para obtener los datos iniciales: la radicación y el logaritmo. En esta entrada sólo veremos la radicación.

Conjuntos de números

Los conjuntos de números fueron surgiendo conforme se fueron necesitando para incluir las respuestas de las correspondientes operaciones básicas:

Los números naturales, son los que usamos para contar: 1, 2, 3… Son los primeros que existieron. Si sumas un número natural más otro número natural, siempre obtendrás un natural: 3 + 5 = 8.

Los números enteros: a los naturales les agregamos sus correspondientes negativos y el cero para formar los enteros. Son necesarios para indicar los resultados de aquellas restas en las que el minuendo es menor o igual al sustraendo: 3 – 5 = – 2, 3 – 3 = 0 .

Los números enteros no negativos: incluyen a los naturales y al cero. Originalmente no se consideraba al cero como natural (se reconoció su existencia hasta hace muy poco), por ello existe este conjunto, para incluirlo.

Los números racionales: las multiplicaciones de enteros siempre resultan en enteros, sin embargo las divisiones no siempre son exactas. Para incluir esos resultados son necesarios los números racionales: 3 x 5 = 15,  3 ÷ 5 = 3/5.

Los números irracionales: al elevar un número entero a una potencia entera se obtiene otro número entero, sin embargo, al sacar ciertas raíces el resultado no es entero. Para incluir parte de esos resultados son necesarios los números irracionales:

Es importante aclarar que los irracionales pueden ser de dos tipos:
los números irracionales algebraicos, que son soluciones a ecuaciones algebraicas, como:

los números irracionales trascendentes, que no son soluciones a ecuaciones algebraicas, como π, e y cualquier número con una cantidad infinita de decimales escritos al azar.

Todos los números anteriores se consideran números reales.

Los números complejos: Las raíces de índice par de números negativos no pueden definirse en los reales. Es por ello que existen los números complejos, como:

Pueden ver más sobre números especiales aquí

Sobre los racionales, que son las fracciones aritméticas, escribí una entrada explicando por qué son complejos de entender (ver aquí) otra sobre cómo simplificarlos y amplificarlos (ver aquí) y otra sobre cómo hacer operaciones con ellos (ver aquí).

¿Por qué se necesita saber calcular el valor de los números irracionales algebraicos?

Entre otras cosas, porque son la solución de muchas de las ecuaciones de segundo grado. Además, el Teorema de Pitágoras implica obtener la raíz cuadrada de un número para conocer el dato faltante. Mediante este teorema podemos encontrar las medidas de las diagonales de un cuadrado y de un rectángulo, lo cual es importante en muchos contextos.

Por ejemplo, las medidas de las pantallas no suelen darse en ancho por largo, sino en diagonal. Sabiendo la medida de la diagonal y el ancho o el alto podemos determinar la otra medida. O sabiendo el ancho y el alto podemos determinar la medida de la diagonal.

Aunque se puede pensar que para eso están las calculadoras y las reglas, creo que siempre es bueno conocer el procedimiento para llegar a un resultado. Y si será tema de examen, entonces es indispensable saber hacerlo.

¿Qué significa extraer la raíz de índice n de un número y cuáles son los elementos de la expresión?

La raíz de índice n de un número es otro número que, al elevarse a la potencia n, nos da el primer número.

En este ejemplo, la raíz quinta de 243 es 3, dado que 3 a la quinta potencia es 243:

El 243 es el radicando, el 5 es el índice de la raíz y el 3 es la raíz.

En la mayoría de los casos se usan los ordinales para expresar la raíz: raíz cuarta, raíz décima. Existen dos casos especiales que están relacionados con la aplicación a la geometría: a la raíz segunda se le conoce más comúnmente como raíz cuadrada y a la raíz tercera se le conoce más comúnmente como raíz cúbica. Extraer una raíz cuadrada no es desenterrar una parte de una planta con formas o dobleces rectos. Es encontrar el número que originó a otro número al ser elevado al cuadrado. Por eso se usa la palabra raíz, porque de alguna forma las plantas se originan en sus raíces.

¿Qué cuidados deben tenerse con los signos?

Se requieren dos cuidados distintos:

Primero: sólo se pueden extraer raíces de índice par de números positivos en los números reales. Si el número es negativo, debe agregarse a la respuesta la letra i, como vimos antes, de esta forma:

Segundo: cuando se extraen raíces de índice non, la respuesta es única:

Cuando se extraen raíces de índice par, la respuesta es doble, la principal y la negativa de la principal:

Ojo: en las matemáticas de primaria se suele extraer sólo la raíz cuadrada principal de números positivos, por lo que no suele llamarse la atención de los alumnos sobre los cuidados que acabo de mencionar. Considero que eso puede complicar la comprensión al llegar al álgebra, por lo que sería benéfico sí mencionarlos desde un principio, aunque no se practiquen.

¿Cómo se obtiene la raíz cuadrada de un número que sea un cuadrado exacto de otro número de 2 cifras?

Cuando sabemos que el número que nos dan es el cuadrado exacto de un número de 2 cifras hay un pequeño truco que podemos usar, que se basa, como todo en matemáticas, en el reconocimiento del patrón que hay, en este caso, en los cuadrados de los números.

Observen cómo todos los cuadrados de los complementos a 10 (números que suman 10: 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) terminan en el mismo dígito:

Teniendo las primeras 10 raíces cuadradas en la mente, podemos deducir las siguientes 90, de esta forma:

La raíz cuadrada de 3136 debe tener 5 decenas dado que 31 (las dos primeras cifras de nuestro número) es mayor a 5² y menor a 6².

Debe terminar en 4 o en 6 dado que 3136 termina en 6.

Para elegir entre 4 y 6 debemos tener en cuenta la magnitud de nuestro número y compararlo con uno fácil de calcular, basado en las decenas que ya determinamos (5 en este caso):

54 x 54 sería más pequeño que 50 x 60 (agregas 4 al 50 y quitas 6 al 60, por lo que el resultado es menor)

56 x 56 sería más grande que 50 x 60 (agregas 6 al 50 y quitas 4 al 60, por lo que el resultado es mayor)

Lo que hacemos es multiplicar las decenas que ya conocemos, 50, por las siguientes, 60 para comparar.

Si 50 x 60 son 3000 y nuestro número, 3136 es mayor, su raíz cuadrada es 56 (la mayor de las dos opciones).

Intentemos con otro, ya sin tanta explicación:

La raíz cuadrada de 6889 debe tener 8 decenas dado que 68 es mayor que 8² y menor a 9².

Debe terminar en 3 o 7 dado que 6889 termina en 9.

Como 80 x 90 son 7200 y nuestro número, 6889, es menor, la raíz cuadrada de 6889 es 83.

De una forma similar, podemos obtener la raíz cúbica de un número que sea el cubo exacto de otro número de dos cifras. También se hace con base en los patrones, ahora de los cubos. Pueden ver cómo hacerlo aquí.

¿Cómo se obtiene la raíz cuadrada de un número cuando no es exacta?

El proceso comienza por separar en periodos de 2 cifras, de derecha a izquierda, a partir del punto decimal (va de 2 en 2 por ser raíz cuadrada, si fuera cúbica sería de 3 en 3 y así sucesivamente, dado que el cuadrado del número más grande de una cifra, 9, tiene 2 cifras, el cubo de 9 tiene 3 cifras y así). Indicaré los periodos con colores distintos:

El siguiente paso es encontrar el número que elevado al cuadrado dé el valor más cercano, sin pasarse, al primer periodo. En este caso es 7, que, elevado al cuadrado da 49.

Se eleva al cuadrado el número, se pone bajo el primer periodo, se hace la resta y se baja el siguiente periodo.

Luego se duplica el número y se escribe en la siguiente línea:

Ahora se busca un número que pueda escribirse en la primera y segunda líneas, tal que al multiplicarse sólo ese número por todo el número que se formó en la segunda línea se obtenga el número más cercano, sin pasarse, al número que tenemos hasta abajo en el proceso. En este caso el número es 2, que al multiplicarse por 142 da 284, el número más cercano a 293, sin pasarse.

El proceso se termina cuando se llega a la exactitud deseada. En este caso lo dejaremos en la parte entera de la raíz: La raíz cuadrada de 5193 es 72, quedando un residuo de 9.

Ojo, a diferencia de la división, en este caso el residuo puede llegar a ser mayor al número por el que estábamos multiplicando. En ese caso debemos comprobar que, incrementando el dígito con el que habíamos probado, se exceda el resultado, para estar seguros de que elegimos el dígito correcto. Si en el ejemplo anterior elegimos 1 en vez de 2 como segundo dígito, diríamos que la raíz cuadrada de 5193 es 71 quedando un residuo de 152, lo cual es incorrecto.

Aquí viene un pequeño paréntesis algebraico para entender por qué se duplica el número:

El número ab puede escribirse como 10a+b

Si lo elevo al cuadrado, obtengo:

Que también puede escribirse:

Ahora comparemos con el proceso que acabamos de hacer:

Al hacer la primera resta, al número le restamos realmente 100 a², siendo a=7 en el ejemplo

5193 – 4900 = 293

Por lo tanto ahora necesitamos buscar b, sabiendo que lo que le queda al número que estamos buscando, después de la resta, es b (2⋅10a + b). Si analizamos la expresión, nos daremos cuenta de que esa multiplicación es la que hacemos en el segundo paso. Ese 2 es la razón por la que duplicamos el número que ya teníamos:

a = 7 → 2⋅10a + b= 142  → b (2⋅10a + b) = 284 →  293 – 184 = 9

Es por ello que la forma de verificar que la b que elegimos sea la correcta es haciendo esa multiplicación y resta.

Por cuestiones de espacio no presentaré el procedimiento de la raíz cúbica en esta entrada, sólo quiero comentar que el principio de solución está basado en que la forma de obtener un cubo es:

Fin del paréntesis algebraico.

Ahora veamos cómo obtener una raíz cuadrada cuando el número original tiene decimales y/o queremos que la respuesta tenga decimales. El procedimiento es básicamente el mismo, sólo se deben cuidar varios detalles:

Los periodos se contemplan del punto decimal hacia cada lado (en el ejemplo el último 3 queda solo, no va con el 4).

Si un residuo es muy pequeño, puede que el siguiente dígito sea 0, como ocurre en el tercer paso del ejemplo.

Si el último periodo sólo tiene un dígito, debe agregarse un cero al bajar, para completar a dos dígitos por periodo.

El proceso se detiene al obtener la exactitud deseada.

En ambos ejemplos, lo que obtengo es la raíz cuadrada principal. Si se trata de la solución de una ecuación cuadrática, se debe considerar también el negativo del número como respuesta.

Para cerrar

El obtener la raíz cuadrada de un número «a mano» es una de esas actividades que ayudan para desarrollar el sentido numérico (ver más aquí), la paciencia y la concentración. Para los cuadrados y cubos que sabemos que sus raíces son enteras ayuda también a desarrollar el pensamiento lógico (ver más aquí) al identificar patrones y usarlos para determinar las respuestas con un mínimo de cálculos. En ese caso, podemos llegar a ser casi tan rápidos como la calculadora.

Conviene pensar en este procedimiento más como formador de conexiones entre nuestras neuronas que como algo que vaya a tener una aplicación práctica en la vida. La ubicuidad de las calculadoras vuelve innecesario este cálculo en sí, a la vez que vuelve muy necesario el entrenamiento de neuronas por cualquier medio.

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Nuevamente gracias por la sugerencia de tema, Marifer, espero que te sirva más de alguna de las ideas que compartí.

Rebeca

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