Ésta es la entrada 67 del blog. Complementará a la 66 (ver aquí), que trató sobre logaritmos, cómo entenderlos y qué cuidados tener al trabajar con ellos.

Veremos cómo funcionan las tablas de logaritmos y antilogaritmos, que se han vuelto una curiosidad de museo, dadas la ubicuidad de las calculadoras. Los invito a que disfrutemos esas tablas como se disfruta observar objetos antiguos en un museo y aprovechemos para comprender mejor las propiedades de los logaritmos y las leyes de los exponentes durante el proceso.

Además veremos algunas curiosidades más al respecto de este tema, incluyendo un par de paradojas matemáticas. Las ecuaciones y funciones logarítmicas las revisaremos la siguiente semana.

Nota: dentro de dos de semanas retomaré los temas de nivel primaria, que forman el enfoque principal de este blog. Las sugerencias sobre los temas a tratar son bienvenidas.

Las imágenes que presentaré son del libro que usé en la universidad: el Manual de fórmulas y tablas matemáticas, escrito por Murray R. Spiegel, para la serie Schaum, que incluye logaritmos en ambas bases (logaritmos comunes, base 10 y logaritmos naturales, base e). En la secundaria recuerdo haber usado un manual más pequeño, que sólo tenía los logaritmos comunes, o base 10.

La entrada pasada vimos que los logaritmos se componían de dos partes: característica (parte entera) y mantisa (parte decimal). Esto aplica para los logaritmos comunes, pues los naturales funcionan un poco diferente, como veremos a continuación.

¿Cómo se usa la tabla de logaritmos comunes?

Para encontrar el logaritmo base 10 de un número mayor a 1, se determina primero la característica, que es la parte entera del logaritmo. Para ello se cuenta el número de cifras que hay a la izquierda del punto decimal y se le resta 1.

Retomemos el ejemplo de la entrada anterior: 3691000

Tiene 7 cifras a la izquierda del punto decimal, por lo que la característica de su logaritmo base 10 será 6. Noten que podemos dividir el número 6 veces entre 10 antes de que el resultado sea menor a 1, de ahí el valor de la característica.

La mantisa, parte decimal del logaritmo, se busca en las tablas, tomando en cuenta los primeros 4 dígitos, en este caso, 3691. (Nota, por la forma en que están diseñadas las tablas, la máxima cantidad de cifras a tomar en cuenta es 4)

Se busca bajo la columna N el 36, luego se va hacia la primera columna marcada con 9 y se identifica el número en esa intersección: 5670. Después se sigue por la misma fila hasta la columna marcada con 1 en la sección de Partes proporcionales, identificando un 1 como parte proporcional, que se suma al número 5670.

Por lo tanto, el logaritmo común de 3691000 es 6.5671

Eso significa que 10^6.5671 ≈ 3691000  (es aproximado, se pierde exactitud en los redondeos)

Al verlo de esa manera, y recordar las leyes de los exponentes (ver más aquí y aquí), podemos entender que:

36910000 = 3691000 * 10 = 10^6.5671 * 10 = 10^(6.5671+1) = 10^7.5671

Es por ello que, al obtener la mantisa para 3691, podemos calcular el logaritmo de cualquier número que empiece con 3691….

Log 3.691 = 0.5671

Log 36.91 = 1.5671

…

Log 369 100 000 = 8.5671

¿Y para números menores a 1?

El logaritmo de 1 en cualquier base es 0. 0 es un parteaguas, todos los logaritmos de números mayores a 1 serán positivos y todos los logaritmos de números menores a 1 serán negativos.

Siguiendo la lógica anterior y la mantisa que ya conocemos, así calcularíamos el logaritmo de 0.3691:

0.3691 = 3.691 ÷ 10 = 10^0.5671 ÷ 10 = 10^(0.5671-1) = 10^(-0.4329)

Por lo tanto, para calcular la mantisa de un número menor a 1, se le resta 1 al dato encontrado en la tabla: 0.5671 – 1 = – 0.4329

Y para saber la característica, se cuenta el número de ceros después del punto decimal, antes de la primera cifra diferente de cero (de forma similar a como se contaban el número de cifras a la izquierda del punto decimal cuando el número era mayor a 1, pero en el otro sentido).

Por lo tanto:

Log 0.3691 = -0.4329

Log 0.03691 = -1.4329

…

Log 0.000003691 = -5.4329

Listo, esa es la forma de encontrar el logaritmo común de un número usando las tablas.

¿Cómo se usa la tabla de antilogaritmos comunes?

Recordando lo importante que es la reversibilidad (ver más aquí), aprendamos ahora a usar la tabla de antilogaritmos comunes.

Si sabemos que el logaritmo común de un número es 1.5671, ¿cómo sabemos cuál es el número mediante la tabla de antilogaritmos?

La característica sólo nos servirá para ubicar el punto decimal. Usaremos la mantisa para encontrar las cifras del número.

Buscamos bajo la columna p el 0.56, luego vamos a la columna 7 y ubicamos el número 3690. Nos movemos por esa misma fila hasta la columna 1 de las partes proporcionales y encontramos el número 1, que le sumamos al número anterior: 3691.

Ahora sólo falta recordar que si la característica es 1, significa que hay 2 cifras a la izquierda del punto decimal, por lo que el número buscado es 36.91.

¿Y cuando el logaritmo es negativo?

Probemos con -1.4329

Primero le restamos a 1 la mantisa del número: 1 – 0.4329 = 0.5671

Luego buscamos en la tabla de antilogaritmos comunes y llegamos al mismo 3691.

Finalmente recordamos que la característica 1 en un logaritmo común negativo indica que hay un cero después del punto decimal, por lo que el número buscado es: 0.03691

¿Cómo se usa la tabla de logaritmos naturales?

Para los logaritmos naturales, por no tener como base al número 10, no puede calcularse la característica contando cifras antes o después del punto decimal.

Sin embargo, el 10 tiene una importante presencia en el cálculo de logaritmos naturales también, dado que el número dado y el obtenido están en el sistema numérico decimal.

Veamos el caso más sencillo, cuando el número del cual se busca el logaritmo natural puede ubicarse directamente en la tabla.

Primero usaremos el 3.69:

Se localiza la fila del 3.6 en la columna x y después el 9 en la columna correspondiente, y se ubica el número en el cruce de ambas: 1.30563

Si se deseara obtener el logaritmo natural del 3.691, como esta tabla no incluye las partes proporcionales, se haría de esta manera:

ln 3.69 = 1.30563

ln 3.70 = 1.30833

Diferencia: 0.0027

Proporción: 0.0027 / 10 * 1 = 0.00027 (se divide entre 10 milésimos que hay de diferencia entre ambos números y se multiplica por 1 milésimo que es la diferencia entre 3.691 y 3.69)

ln 3.691 = 1.30563 + 0.00027 = 1.3059

Este cálculo de proporcionalidad también se puede hacer para los logaritmos comunes, pero alguien amablemente hizo todos los cálculos y llenó una tabla correspondiente.

Nota: esta forma de calcular un logaritmo con más de 3 cifras es la que propone el libro que estoy consultando, aunque considero que un tanto inexacta, dado que los valores del número y su correspondiente logaritmo no tienen una relación lineal. ¿Conocen alguna otra forma de hacerlo?

¿Y cuando el número no está en la tabla?

Entonces necesitamos conocer el valor del ln 10, que es 2.30259 y re-expresar los números de la siguiente manera:

3691000 = 3.691 * 10^6 

Para calcular el logaritmo natural, usamos las propiedades de los logaritmos:

Por tanto:

ln 3691000 = ln (3.691 * 10^6) = ln 3.691 + ln10^6 =

ln 3.691 + 6 * ln10 = 1.3059 + 6 * 2.30259 = 15.12144

¿Y para números menores a 1?

0.03691 = 3.691 * 10^(-2) 

Por tanto:

ln 0.3691 = ln (3.691 * 10^(-2)) = ln 3.691 + ln (10^-2) = ln 3.691 -2ln10 =

1.3059 – 2 * 2.30259 = – 3.29928

¿Cómo se calculan los «antilogaritmos» naturales?

En este caso, la tabla no se llama de antilogaritmos, sino de funciones exponenciales y existen dos, una para los valores positivos y otra para los negativos

Para buscar el valor de: e^-3.3  (redondeo de -3.29928)

Localizamos bajo la columna x de la tabla correspondiente la fila con el valor 3.3 y después buscamos la columna del 0, para llegar a: 0.03688, razonablemente cercano al original, se pierde un poco de exactitud con los redondeos.

Para buscar el valor de: e^15.1

Necesitamos descomponerlo de esta manera: e^15.1 = e^10 *e^5.1

Buscando los correspondientes valores, obtenemos:

e^15.1 = e^10 *e^5.1 = 22026 * 164.02 = 3612704.52

Que es sólo 2% distinto al original, nuevamente debido a los redondeos.

Reitero que lo que acabo de presentar es más bien un objeto de museo, que sirve para tener una comprensión más profunda de las aplicaciones de las leyes de los exponentes y las propiedades de los logaritmos. Si llegan a estar un día en una isla desierta y sólo tienen una calculadora con las operaciones básicas y una tabla de logaritmos y antilogaritmos, ahora ya saben cómo pueden hacer cálculos complejos con una exactitud razonable.

Pasemos ahora a algo lúdico:

Paradojas matemáticas que involucran logaritmos

Las encontré en el libro “Eso no estaba en mi libro de matemáticas” de Vicente Meavilla:

Primero, demostremos que 1/8 es más grande que 1/4:

Se parte de esta desigualdad correcta:

3 > 2

Multiplicamos ambos lados por el logaritmo de 1/2

3 * log (1/2) > 2 * log (1/2)

Usando las propiedades de los logaritmos, reescribimos la expresión de esta manera:

log (1/2)^3 > log (1/2)^2

Elevamos cada argumento a la potencia correspondiente:

log (1/8) > log (1/4)

Como ambos logaritmos son iguales, ambos argumentos son iguales:

1/8 > 1/4

¡¿Cómo?!

¿Captaron el “truco”? Pueden ver la explicación en la sección “Para cerrar”

Ahora, demostremos que -1 = 1

Comencemos por esta igualdad correcta:

(-1)^2=(1)^2

Apliquemos logaritmo base 10 a ambos lados:

Log (-1)^2=log(1)^2

Por las propiedades de los logaritmos podemos reescribir:

2*log(-1)=2*log(1)

Dividimos ambos lados entre 2:

log(-1)=log(1)

Como ambos logaritmos son iguales, ambos argumentos son iguales:

-1=1

¿Qué está mal? Pueden verlo en la sección Para cerrar.

Los logaritmos en la naturaleza

Personalmente me parece que es contraproducente decir, a una persona que tiene una mala relación con las matemáticas, que los números están en todas partes y que por eso debe aprender matemáticas. Considero que puede hacerla sentir aún más mal por no entender algo que debería serle “natural” entender. Yo creo que, en la mayoría de los casos, no lo entiende porque no ha tenido oportunidad de verlo desde diferentes ángulos, hasta encontrar el que le permita comprender. Para eso estamos los papás y profesores. Para eso está este blog.

Así que les pido que aprovechen la información de esta sección con cuidado. Que sirva para acercar a la gente a las matemáticas, no para alejarla aún más.

La escala en la que se miden los terremotos es logarítmica

Un terremoto que alcance una magnitud 4 en la escala de Richter no es el doble de intenso que uno que alcance una magnitud 2. Ni uno que alcance una magnitud 6 es el triple.

Las escalas logarítmicas se usan así porque sirven para “comprimir” información.

En esa escala:

Un terremoto magnitud 2 libera el equivalente a 6 kg de energía de TNT

Un terremoto magnitud 4 libera el equivalente a 6 toneladas de energía de TNT

Un terremoto magnitud 6 libera el equivalente a 1270 toneladas de energía de TNT

La escala para indicar la magnitud avanza lentamente mientras el significado de esa magnitud avanza muy rápidamente, lo cual facilita el manejo de la información.

Pueden ver más sobre esta escala aquí:

La relación entre las frecuencias de las notas musicales también se considera logarítmica

La frecuencia a la que vibra el Do central de un piano, 261.626 Hz, es el doble de la frecuencia del Do que está a su izquierda, 130.813 Hz y es la mitad de la frecuencia del Do que está a su derecha: 523.251 Hz.

Esto significa que la frecuencia no aumenta de forma lineal (esto es, no se le suma una cierta cantidad) conforme nos movemos de izquierda a derecha por el teclado, sino que para cada nota que está una octava más arriba que otra (de Mi a Mi, de Solb a Solb) la vibración es el doble.

Pueden ver más sobre este tema aquí y aquí.

¿Qué otros comportamientos conocen que sean logarítmicos?

Para no saturarlos con demasiada información hoy, será conveniente escribir una siguiente entrada para revisar las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas, para así abarcar los diferentes aspectos relacionados con este tema.

Para cerrar

Antes de irnos veamos las explicaciones a las paradojas matemáticas:

En el primer caso, el “truco” está en el primer paso, ya que se hace algo que no es matemáticamente correcto:

Multiplicar por log (1/2) a ambos lados de la desigualdad implica multiplicar por un número negativo, lo cual requiere invertir el sentido de la misma (ver más sobre desigualdades aquí). Por lo tanto, a partir de ese paso deberíamos escribir:

3 * log (1/2) < 2 * log (1/2)

Con lo cual llegaríamos a una respuesta que no nos resultaría extraña:

1/8 < 1/4

Debemos cuidar las restricciones de todas las manipulaciones matemáticas que hagamos, para evitar este tipo de errores.

En el segundo caso, el error es un poco menos evidente.

Aunque esto es cierto:

Log (-1)^2=log(1)^2

Lo siguiente ya no lo es, pues, al quitar el cuadrado de donde estaba, estamos expresando que un número imaginario es igual a un número real, lo cual no es correcto.

2*log(-1)=2*log(1)

Es decir, el 2 en la posición del exponente hacía válida la igualdad, pero el 2 en la posición de factor ya no la hace.

Estas paradojas, además de servirnos para pensar un rato y sorprender a más de alguno, sirven para estar atentos con nuestro trabajo matemático y así evitar llevarlo por un camino que, siguiendo las reglas sin reflexionar antes si es adecuado aplicarlas, nos lleve a una respuesta incorrecta.

Como siempre, gracias a todos por leer y por ayudarme a compartir el mensaje.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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