Ésta es la entrada 58 del blog. 58 es 29 por 2, lo cual sólo viene al caso porque esta entrada la dedicaremos a las multiplicaciones con números de dos o más cifras, para complementar la anterior, que trató sobre la suma y la resta (ver aquí). La siguiente la dedicaremos a la división.

Como multiplicar con números decimales sólo implica un cuidado extra con respecto a hacerlo con enteros, aprovecharemos para verlo también. Pueden ver la entrada sobre operaciones con números decimales aquí. De hecho, parte de esta entrada será complemento de esa, en la que ya había abordado muchos aspectos importantes tanto de la suma y la resta como de la multiplicación y la división.

Buscando una imagen que pudiera encabezar esta entrada, encerrando un significado relacionado con el tema de hoy, me encontré ésta que me gustó mucho. El diente de león (así se le llama en México) libera sus semillas y, con ello, las plantas similares a él se multiplican.

Ampliando el vocabulario

En la entrada pasada comenzamos por identificar palabras que significan lo mismo que sumar y restar, con el objetivo de usarlas frecuentemente, para que a nuestros hijos y alumnos les resulten familiares cuando las escuchen dentro de problemas redactados en palabras.

En el caso de la multiplicación, no basta con usar palabras sinónimas, ya que algunas incluso pueden confundirse con las usadas para la suma. En algunos casos se trata de frases, algunas de las cuales incluyen la palabra “veces”:

Duplicar, triplicar, cuadriplicar… aumentar dos veces, incrementar tres veces, agrandar al cuádruple…

¿Se les ocurren otras palabras o frases que sean usadas en los problemas escritos que impliquen multiplicación ? Escríbanlas en los comentarios, por favor.

Sistema numérico decimal

Al igual que para las sumas y restas, para realizar correctamente las multiplicaciones y divisiones es indispensable tener presentes las características del sistema numérico decimal (pueden leer la entrada completa que escribí al respecto aquí)

Cada dígito tiene un valor absoluto y un valor relativo, según su posición. El valor de cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha.

Por ejemplo: en 58, la posición del 8 es la de las unidades, vale 1 y, por tanto, el 8 colocado ahí vale 8 unidades. En cambio, la posición del 5 es la de las decenas, vale 10 veces la de las unidades. O sea que el 5 colocado ahí vale 50 unidades. Su valor absoluto es 5 y su valor relativo es 50.

La multiplicación es una suma reiterada

La multiplicación es una suma reiterada de un número (multiplicando), la cantidad de veces que indica otro número (multiplicador). A multiplicando y multiplicador también se les conoce como factores.

Por lo tanto, la expresión 5 x 3, en la cual el 5 es el multiplicando y el 3 es el multiplicador, indica que se suma tres veces el cinco:

5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15

Elementos de la multiplicación

25     Multiplicando
x 13      Multiplicador
   75      Productos intermedios
25_
325       Producto

El signo de la multiplicación, x, puede colocarse a la derecha, a la izquierda, junto al multiplicador o en medio de ambos factores, según las costumbres de cada país.

Por extraño que parezca, en otros idiomas la forma correcta de entender la multiplicación puede ser distinta. Pueden leer más al respecto en la primera entrada sobre las tablas de multiplicar (ver aquí). La segunda entrada sobre las tablas de multiplicar (ver aquí) contiene más estrategias y formas de entender y memorizar las tablas de multiplicar, indispensables para hacer multiplicaciones como las que veremos hoy.

Existe una frase popular que dice que “el orden de los factores no altera el producto” que es cierta y podemos aprovechar para facilitar el proceso de multiplicar. Sólo debemos recordar que el orden de los factores sí altera la forma de interpretar la multiplicación como suma reiterada, como acabamos de ver.

¿Qué tomar en cuenta al acomodar los números para multiplicar usando el algoritmo de la multiplicación?

Cuando multiplicamos números con más de un dígito, el primer paso del algoritmo (procedimiento sistemático) es acomodar un número arriba del otro. Pueden acomodarse en el orden en el que nos los dieron o en el orden contrario, si resulta conveniente, dado que no se altera el resultado. Es conveniente tener abajo el número con menos dígitos, con más ceros o con dígitos más pequeños.

Si vamos a multiplicar 58 x 29 es conveniente dejarlo así:

    58
x 29

Dado que ambos números tienen la misma cantidad de dígitos y las tablas del 2 y 9 son sencillas.

En cambio, si vamos a multiplicar 58 x 297 conviene más acomodarlo así:

  297
x 58

Para abreviar el proceso (multiplicar 8 x 297 y 5 x 297 en vez de 7 x 58, 9 x 58 y 2 x 58)

Una excepción sería si uno de los números incluye varios ceros. En ese caso, pudiera convenir que ese número fuera el segundo:

     297
x 2001

¿Por qué es necesario recorrer las posiciones cuando el multiplicador tiene más de un dígito?

Al realizar una multiplicación como la siguiente mediante el algoritmo de la multiplicación, se comienza por multiplicar el último dígito del multiplicador, 9, por el último dígito del multiplicando, 8, con lo cual obtenemos 72. Se coloca el 2 bajo el nueve y “llevamos” 7, esto es, las 7 decenas las tomaremos en cuenta en el siguiente cálculo. Después se multiplica el mismo 9 por el penúltimo dígito del multiplicando, 5, con lo cual obtenemos 45, se le suman los 7 que llevábamos y obtenemos 52. Como ya no hay más dígitos para multiplicar, podemos escribir el 52 completo:

    58
x  29
  522
1160
1682

Para la segunda línea, se comienza igual, multiplicando ahora el segundo dígito del multiplicador, 2, por el último dígito del multiplicando, 8. Se “recorre” un lugar el 6 porque realmente se está multiplicando 20 x 8 = 160, no sólo el 2 y, por tanto, el 6 debe quedar en la posición de las decenas. Por eso es importante tener en mente las características del sistema numérico decimal al hacer estas operaciones, ya que nos ayuda a entender el por qué hacemos algo, más allá del qué hacemos.

Lo más común, según lo que yo he visto, es que sólo se recorra un lugar, sin poner un cero ahí, aunque hay profesores que sugieren poner cualquier símbolo (un asterisco, una rayita, un punto) que recuerde al alumno que debe recorrer una posición antes de escribir el resultado. Yo considero conveniente preferir el poner un cero, o dejar el espacio en blanco, para no «contaminar» el proceso con elementos no matemáticos que pueden llegar a confundir al alumno más adelante.

Al hacer las multiplicaciones, podemos escribir arriba de los dígitos del multiplicando los números que “llevamos”, lo suficientemente pequeños y ordenados para que quede claro que son auxiliares y cuándo se usó cada uno, lo cual facilitará revisar nuestro trabajo.
Lo mismo al hacer las sumas, si se requiere “llevar” (no es el caso en este ejemplo) podemos poner un número auxiliar pequeñito donde sea necesario.

Veamos el caso con los ceros

         297
    x 2001
         297
  594000
  594297

En este caso, multiplicamos primero por 1 y después por 2000, que es el valor posicional del 2, por eso se incluyen los tres ceros.

Se pueden agregar dos filas de ceros dentro del procedimiento, aunque eso implica más mecanización y menos comprensión de lo que se está haciendo:

        297
  x  2001
        297
      0000
    00000
  594000
  594297

También puede no escribirse ningún cero de los que marcan el “recorrimiento” debido al valor posicional y limitarnos a recorrer las posiciones. Al multiplicar por el 1, el primer dígito, 7,  va bajo el 1. Al multiplicar por el 2, el primer dígito, 4, va bajo el 2.

        297
x    2001
        297
 594____
 594297

Dependiendo de la habilidad de cada alumno será el proceso que convenga que siga. Con la práctica, podrá lograr hacer los procesos más eficientes, sin escribir tanto pero entendiendo lo que está haciendo.

¿Por qué se cuentan las cifras decimales de los factores para determinar las del producto?

Primero debemos tener presente que, por las propiedades del sistema numérico decimal, al recorrer el punto decimal una posición a la derecha el nuevo número es 10 veces más grande que el anterior. Y, al recorrer el punto decimal una posición a la izquierda, el nuevo número es 10 veces más chico que el anterior:

5.8 x 10 = 58
29 / 10 = 2.9

Si vamos a multiplicar 5.8 x 2.9, podemos comenzar por multiplicar cada número por 10, con lo cual la nueva multiplicación queda 58 x 29, que ya no tiene cifras decimales pero es 10 x 10 = 100 veces más grande que la multiplicación original. Para saber cuál es el resultado de la multiplicación original debemos hacer la operación contraria: dividir entre lo que habíamos multiplicado: 100, es decir, recorrer el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.

Contar las cifras decimales de los factores, para determinar las del producto, por tanto, puede considerarse una abreviación del proceso que acabo de explicar:

    5.8  una cifra decimal
x  2.9  una cifra decimal
   522
 1160
16.82  dos cifras decimales

Conviene revisar la lógica usando una estimación: poco menos que 6 por poco menos que 3 debe ser poco menos que 18. Por tanto, el punto decimal debe estar bien colocado.

Comprobación de la multiplicación

Se puede comprobar la multiplicación dividiendo el resultado entre cualquiera de los factores y debemos obtener el otro: 594297 entre 2001 = 297

También se puede usar la prueba del nueve para comprobar las respuestas (ver la explicación completa y más ejemplos aquí)

Para hacer esa prueba, necesitamos saber que el producto de las raíces digitales de dos números es igual a la raíz digital del producto de esos dos números. La raíz digital de un número se obtiene al dividir dicho número entre 9 o sumando todos los dígitos hasta llegar a un solo dígito, lo cual se puede abreviar si no se toman en cuenta todos los dígitos que sumados den 9:

   58    ->5 + 8 = 13 -> 1 + 3 = 4
x  29    -> 2 + 9 = 11 -> 1 + 1 = 2 x
  522
1160
1682    -> 1 + 6 + 8 + 2 = 8 ok!

¿El producto siempre es mayor que ambos factores?

Debemos tener cuidado al expresarnos, pues, si afirmamos que siempre que multiplicamos obtenemos un número más grande que los factores, nuestros hijos y alumnos se sentirán confundidos cuando se encuentren un resultado como éste, que es menor a uno de los factores:

     508
x  0.29
   4572
 10160
147.32

Al multiplicar por un número mayor a uno, sí obtenemos un número mayor al original, pero, al multiplicar por un número menor a uno, obtenemos un número menor al original.

Casos en los que se puede multiplicar sin seguir el algoritmo con números de dos o más dígitos

Cuando el multiplicador es un sólo dígito, se puede escribir la respuesta directo a un lado del igual, multiplicando primero las unidades del multiplicando, luego las decenas y así sucesivamente (de derecha a izquierda). No se necesita acomodar un número arriba del otro:

5 x 7 = 35, escribimos el 5 a la derecha y llevamos 3.  5 x 9 = 45 más los 3 que llevábamos 48, escribimos 8 a la izquierda del 5 y llevamos 4. 5 x 2 = 10 más los 4 que llevábamos 14, que escribimos completo hasta la izquierda:

297 x 5 = 1485

Cuando multiplicamos cualquier número por otro que sólo tiene un dígito distinto de cero, podemos seguir el procedimiento anterior para multiplicar por ese dígito y sólo agregar los ceros necesarios o recorrer el punto decimal lo que sea necesario:

297 x 500 = 148500

297 x 0.005 = 1.485

Cuando multiplicamos dos números con sólo un dígito distinto de cero y varios ceros, primero multiplicamos esos dígitos y luego agregamos los ceros o recorremos el punto decimal:

300 x 500 = 150000

0.03 x 0.5 = 0.015

Para cerrar

Los algoritmos son necesarios para «enseñar» a las calculadoras y computadoras a hacer ciertos cálculos complejos, es decir, para programarlas para hacerlos. Como seres humanos, dependiendo del contexto en el que necesitemos calcular una multiplicación podemos decidir usar el algoritmo, usar nuestro sentido numérico para llegar al resultado por un camino no algorítmico (ver más sobre sentido numérico aquí y aquí) o sólo estimar el resultado. Muchas veces la estimación será suficiente.

Por ejemplo: ¿cuánta pintura necesitamos para recubrir una pared de 2.9 m x 4.1 m?

Realmente no necesitamos hacer el cálculo exacto, con estimar que es casi 3 por casi 4 podemos llegar a la tienda y pedir pintura suficiente para pintar 12 m².

Hacer cálculos exactos nos permite practicar el cuidado de los detalles. Hacer cálculos estimados nos permite volvernos prácticos para resolver problemas y también nos permite darnos cuenta de que nuestra respuesta está en un rango razonable y, por tanto, tiene más probabilidades de estar bien.

Si al multiplicar 2.9 x 4.1 obtenemos 118.9, por haber realizado de forma incorrecta la determinación de los decimales, debe brincarnos que la respuesta no tiene sentido. Acostumbrarnos a revisar lo razonable de nuestras respuestas nos ayuda a desarrollar nuestro pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí). Tener claro el porqué de cada paso del algoritmo que estamos siguiendo también ayuda en ese sentido. Por eso busco en este blog explicar lo mejor posible todos esos porqués.

Si existe algún algoritmo del cual no conozcan su justificación matemática, pueden contactarme para pedirme que escriba sobre eso. La próxima semana escribiré sobre el algoritmo de la división, para cerrar con ello las cuatro operaciones básicas.

Como siempre, gracias por leer la entrada y por compartirla a quienes pueda resultar útil.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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